5.3.2.1 函数的极值与导数（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值与导数 [学习目标] 1.了解极大值、极小值的概念，发展数学抽象的核心素养.2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，培养逻辑推理的核心素养(重点、易混点).3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，培养直观想象和数学运算的核心素养(重点)． 要点一　函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝__0__，而且在点x＝a附近的左侧__f′(x)＜0__，右侧__f′(x)＞0__，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，__f(a)__叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝__0__，而且在点x＝b附近的左侧__f′(x)＞0__，右侧__f′(x)＜0__，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，__f(b)__叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极小值点、极大值点统称为__极值点__；极小值和极大值统称为__极值__. 思考：导数为0的点一定是极值点吗？ 提示　不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反． 要点二　函数极值的求法与步骤 (1)求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， ①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是__极大值__； ②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是__极小值__. (2)求可导函数f(x)的极值的步骤 ①确定函数的定义区间，求导数f′(x)； ②求方程__f′(x)＝0__的根； ③列表； ④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数的极大值一定大于极小值．(　　) (2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值．(　　) (3)在定义域上的单调函数一定没有极值．(　　) 解析　(1)错误．极大值不一定比极小值大． (2)错误．有的函数可能没有极值． (3)正确．由极值的定义可知，该命题正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 探究一　由函数图象分析函数极值 规律总结 由函数图象研究极值的方法 (1)对于导函数的图象，重点关注导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的． (2)对于函数的图象，重点关注函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点． 【例题1】 (多选)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增 B．函数f(x)在x＝－1处取得极大值 C．函数f(x)在x＝－处取得极大值 D．函数f(x)在x＝1处取得极小值 答案　ABD 解析　从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，A项正确；当x∈(－∞，－1)时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，所以f′(x)<0，故函数f(x)在x＝－1处取得极大值，B项正确；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(－1,0)上单调递减，C项错误；当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，所以f′(x)<0，故f(x)在区间(0,1)上单调递减，而在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，D项正确．故选ABD项． 【变式1】 函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值点有________个． 解析　函数f(x)在极小值点附近的图象应有先减后增的特点，因此应该在导函数的图象上找曲线从x轴下方过渡到x轴上方时与x轴的交点，这样的点有2个，所以函数f(x)在(a，b)内的极小值点有2个． 答案　2 探究二　求函数的极值 规律总结 用导数研究函数的极值的应对策略 在判断f′(x)的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别． 【例题2】 (1)求函数f(x)＝－2的极值． (2)求函数f(x)＝x－aln x的极值． 解析　(1)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由表格可以看出，当x＝－1时，函数f(x)有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数f(x)有极大值，且极大值为f(1)＝－1. (2)由题意可得f′(x)＝1－＝，x>0.①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如表所示. x (0，a) a (a，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 a－aln a 单调递增 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值． 【变式2】 求函数f(x)＝的极值． 解析　函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝′＝x(2－x)·e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 极小值0 单调递增 极大值4e－2 单调递减 因此当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝. 探究三　已知函数的极值求参数 规律总结 (1)已知函数极值的情况，应用待定系数法确定函数的解析式中的参数时，应注意以下两点：①常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解；②因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． (2)对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f′(x0)＝0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f′(x)＝0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解． 【例题3】 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值． 解析　因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以即解得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上单调递增，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，当x∈(－∞，－3)时，f(x)单调递增；当x∈(－3，－1)时，f(x)单调递减；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝－1处取得极小值．所以a＝2，b＝9. 【变式3】 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，试确定常数a和b的值． 解析　因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，所以f′(x)＝＋2bx＋1(x>0)，且x＝1与x＝2是函数f(x)的两个极值点，所以f′(1)＝f′(2)＝0，所以解得a＝－，b＝－.经检验，符合题意． 探究四　函数极值的综合应用 规律总结 (1)函数极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题有关的综合，题目着重考查已知与未知的转化以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用． (2)在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键． 【例题4】 若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若关于x的方程f(x)＝k有三个不等实根，求实数k的取值范围． 解析　(1)由已知条件可知导函数f′(x)＝3ax2－b，所以所以经检验a＝，b＝4符合题意．故函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x＋4. (2)由(1)知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 单调递减 － 单调递增 因此当x＝－2时，f(x)有极大值；当x＝2时，f(x)有极小值－，则f(x)的图象大致如图所示， 要使关于f(x)＝k的方程有三个不等实根，则k应满足－＜k＜，即实数k的取值范围为. 【变式4】 已知函数f(x)＝x3－3x＋a，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围． 解析　令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图所示． 由已知应有解得－2<a<2，故实数a的取值范围是(－2,2). 1．(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是(　　) A．在(1,2)上函数f(x)单调递增 B．在(3,4)上函数f(x)单调递减 C．在(1,3)上函数f(x)有极大值 D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 答案　ABC 解析　根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0，x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0.所以f(x)在(1,2)，(4,5)上单调递增，在(2,4)上单调递减，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点．故选ABC项． 2．设函数f(x)＝xex，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 答案　D 解析　令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故当x＝－1时，f(x)取得极小值．故选D项． 3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________. 解析　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为函数f(x)既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，所以Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞) 4．已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，则函数f(x)的极大值为________. 解析　f′(x)＝－，故f′(e)＝－，解得f′(e)＝，所以f(x)＝2ln x－，f′(x)＝－.由f′(x)＞0得0＜x＜2e，由f′(x)＜0得x＞2e，所以函数f(x)在(0,2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，故f(x)的极大值为f(2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2. 答案　2ln 2 学科网（北京）股份有限公司 $$