5.3.1 函数的单调性（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5．3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 [学习目标] 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，培养直观想象和逻辑推理的核心素养.2.能利用导数研究函数的单调性，增强逻辑推理的核心素养(重难点).3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间，提升数学运算的核心素养(重点)． ,) 要点一　函数的单调性与导数的关系 1．一般地，在区间(a，b)内，函数f(x)的单调性与导数f′(x)的正负有如下关系. 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 2.一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性： 第1步：确定函数的__定义域__； 第2步：求出导数f′(x)的__零点__； 第3步：用f′(x)的__零点__将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的__正负__，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 要点二　函数图象的变化趋势与导数绝对值 大小的关系 观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系如表所示． 图象 导数 导数为正，且绝对值越来越大 导数为正，且绝对值越来越小 导数为负，且绝对值越来越大 导数为负，且绝对值越来越小 函数值 函数值变化越来越__快__ 函数值变化越来越__慢__ 函数值变化越来越__快__ 函数值变化越来越__慢__ 图象 特点 越来越 __陡峭__ 越来越 __平缓__ 越来越 __陡峭__ 越来越 __平缓__ 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减．(　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) (4)判断函数的单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　) 解析　(1)正确．由函数的单调性与导数的关系知结论正确． (2)错误．切线的“陡峭”程度与|f′(x)|的大小有关，故错误． (3)正确．函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致． (4)正确．若f′(x)≥0(≤0)，则函数f(x)在区间上单调递增(减)，故在区间内的个别点f′(x)＝0不影响函数的单调性． 答案　(1)√　(2)×　(3)√　 (4)√ 探究一　导函数与原函数的图象 规律总结 研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点 研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时，要注意抓住各自的关键要素．对原函数，我们应重点关注其图象在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减；而对于导函数，则应关注其函数值在哪个区间上大于零，哪个区间上小于零，并关注这些区间与原函数的单调区间是否一致． 【例题1】 (1)f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的(　　) (2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) 解析　(1)当x∈(－∞，0)时，导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上原函数的图象呈上升趋势，可排除B，D项；当x∈(0,2)时，导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上原函数的图象呈下降趋势，可排除A项．故选C项． (2)方法一　由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．故选B项． 方法二　由于f′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f(x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．由于当x＞0时，f′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B项正确．故选B项． 答案　(1)C　(2)B 【变式1】 已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案　C 解析　当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增．故选C项． 探究二　利用导数求函数的单调区间 答题模板 用解不等式法求单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导函数f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，并写出解集； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． 【例题2】 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝. 解析　 (1)f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝＝， 由x＞0，f′(x)＞0，解得x＞；由x＞0，f′(x)＜0，解得0＜x＜.所以函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)由解析式知，函数f(x)的定义域为{x|x≠2}，且f′(x)＝＝，而ex＞0，(x－2)2＞0，所以由f′(x)＞0得x>3，由f′(x)＜0得x＜3.结合定义域得，函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)． 【变式2】 求函数f(x)＝x2－ln x的单调区间． 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝.因为x＞0，所以x＋1＞0，令f′(x)＞0，解得x＞，所以函数f(x)的单调递增区间为；令f′(x)＜0，解得x＜，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为. 探究三　判断含有参数的函数的单调性 答题模板 利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； (4)在不同的参数范围内，解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间． 【例题3】 设g(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性． 解析　g′(x)＝－2ax＋a－2＝－＝－(x＞0)． ①当a＜－2时，因为－＜，所以g′(x)＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减； ②当a＝－2时，g′(x)＝≥0恒成立，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当－2＜a＜0时，因为－＞，所以g′(x)＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减． 【变式3】 试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间． 解析　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝.当k≤0时，kx－1＜0，所以f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当k＞0时，由f′(x)＜0，得＜0，解得0＜x＜；由f′(x)＞0，得＞0，解得x＞.所以当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 探究四　已知函数的单调性求参数范围 解题技巧 已知单调性求参数范围的常用方法 (1)子区间法，即先求出y＝f(x)的单调区间A，然后分析已知区间同A的关系．注意区间端点值能否取到． (2)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取等号时是否满足题意． 【例题4】 若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围． 解析　因为f(x)＝2x2＋ln x－ax的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝4x＋－a≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以a≤4x＋在(0，＋∞)上恒成立．令g(x)＝4x＋，由于g(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当x＝时，等号成立，所以g(x)min＝4，所以a≤4.又当a＝4时，f′(x)＝4x＋－4＝≥0满足条件，所以a的取值范围是(－∞，4]． 【变式4】 (1)(2023·新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 　 B．e 　 C．e－1 　 D．e－2 (2)已知函数f(x)＝ax－ln x在(0,2)上不单调，则a的取值范围是__________. 解析　(1)依题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥，设g(x)＝xex，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，所以g(x)>g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.故选C项． (2) f′(x)＝a－＝，①当a≤0时，f′(x)＜0，即f(x)在(0,2)上单调递减，不合题意．②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝，因为f(x)在(0,2)上不单调，所以0＜＜2，得a＞.故a的取值范围是. 答案　(1)C　(2) 1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 答案　C 解析　因为f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1,4)上单调递增，所以当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C项． 2．函数f(x)＝3＋xln x的单调递增区间是(　　) A. B．(e，＋∞) C. D． 答案　C 解析　 f′(x)＝ln x＋1(x>0)，令f′(x)>0，即ln x＋1>0，得x>.故函数f(x)的单调递增区间为.故选C项． 3．函数f(x)＝的单调递减区间为______. 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝＝.令f′(x)<0，得x<1且x≠0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0,1)． 答案　(－∞，0)，(0,1) 4．若函数f(x)＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围是______. 解析　由题意得，f′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.故实数a的取值范围是[1，＋∞)． 答案　[1，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$