5.2.3 简单复合函数的导数（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.2.3　简单复合函数的导数 [学习目标] 1.了解复合函数的概念，培养数学抽象的核心素养(易混点).2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数，发展数学运算的核心素养(重点)． ,) 要点一　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成　x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__y＝f(g(x))__. 思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ 提示　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 要点二　复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__y′u·u′x__，即y对x的导数等于__y对u的导数与u对x的导数的乘积__. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx.(　　) (2)f(x)＝ln(3x＋1)，则f′(x)＝.(　　) (3)f(x)＝x2cos 2x，则f′(x)＝2xcos 2x＋2x2sin 2x.(　　) 解析　(1)正确．由复合函数的概念知该命题正确． (2)错误．由复合函数的求导法则可得f′(x)＝. (3)错误．由复合函数的求导法则可得f′(x)＝2xcos 2x－2x2sin 2x. 答案　(1)√　(2)×　(3)× 探究一　复合函数的导数 规律总结 (1)求复合函数的导数的步骤 ①分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；②分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；③相乘：把上述求导的结果相乘；④变量回代：把中间变量回代． (2)求复合函数的导数的注意点 ①内、外层函数通常为基本初等函数；②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点；③逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁． 【例题1】 求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；　　　　　(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；　　(4)y＝. 解析　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－. (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝. (4)因为(ln 3x)′＝(ln u)′·u′＝·(3x)′＝，所以y′＝＝＝. 【变式1】 求下列函数的导数． (1)y＝103x－2； (2)y＝ln(ex＋x2)； (3)y＝x. 解析　(1)令u＝3x－2，则y＝10u.所以y′x＝y′u·u′x＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2·ln 10. (2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u．所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝. (3)y′＝(x)′＝＋x()′＝＋＝. 探究二　三角函数型函数的导数 规律总结 三角函数型函数的求导要求 对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导．复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导． 【例题2】 求下列函数的导数． (1)y＝cos； (2)y＝x2＋tan x. 解析　(1)因为y＝cos＝cos·sin－cos2＝sin x－(1＋cos x)＝(sin x－cos x)－，所以y′＝′＝(sin x－cos x)′＝(cos x＋sin x)． (2)因为y＝x2＋，所以y′＝(x2)′＋′＝2x＋＝2x＋. 【变式2】 求下列函数的导数． (1)y＝sin2； (2)y＝sin3x＋sin x3； (3)y＝cos4x－sin4x. 解析　(1)因为y＝sin2＝， 所以y′＝′＝sin x. (2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. (3)y＝cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos 2x，所以y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x. 探究三　导数运算法则的综合应用 规律总结 (1)导数的应用中，求导数是解题的一个基本环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解决途径． (2)求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解． 【例题3】 (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A. B．2 C．3 D．0 (2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝____________. 解析　 (1)由题意设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．因为y′＝，所以y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．所以切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.故选A项． (2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2. 答案　(1)A　(2)2 【变式3】 (1)曲线f(x)＝e4x－x－2在点(0，f(0))处的切线方程是(　　) A．3x＋y＋1＝0 B．3x＋y－1＝0 C．3x－y＋1＝0 D．3x－y－1＝0 (2)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析　(1)因为f′(x)＝4e4x－1，所以k＝f′(0)＝3.又f(0)＝－1，所以切线方程为y＋1＝3x，即3x－y－1＝0.故选D项． (2)设切点为P(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，因为y′|x＝x0＝＝1，所以x0＋a＝1，所以y0＝ln(x0＋a)＝0，所以x0＝y0－1＝－1.所以a＝1－x0＝2.故选B项． 答案　(1)D　(2)B 1．函数f(x)＝x＋ex－1的导数是(　　) A．ex B．1＋ C．1＋ex－1 D．1＋ex 答案　C 解析　函数f(x)的导数为f′(x)＝1＋ex－1.故选C项． 2．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝(　　) A. B．1 C． D．2 答案　C 解析　由题意可得 f′(x)＝×(3x－1)′＝，所以f′(1)＝＝.故选C项． 3．若f(x)＝xe－x，则f(x)在x＝2处的切线的斜率是________. 解析　因为f(x)＝xe－x，所以f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)·e－x，所以f′(2)＝－.根据导数的几何意义知f(x)在x＝2处的切线的斜率为k＝f′(2)＝－. 答案　－ 4．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为________. 解析　由f(x)＝ln(ax－1)可得f′(x)＝，由f′(2)＝2，可得＝2，解得a＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$