5.2.1 基本初等函数的导数&5.2.2 导数的四则运算法则（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.2　导数的运算 5．2.1　基本初等函数的导数 5．2.2　导数的四则运算法则 [学习目标] 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数，发展数学运算的核心素养.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数，增强数学运算的核心素养(重点、易混点)． ,) 要点一　几个常用函数的导数 (1)f(x)＝c(常数)，则f′(x)＝0； (2)f(x)＝x，则f′(x)＝1； (3)f(x)＝x2，则f′(x)＝2x； (4)f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2； (5)f(x)＝，则f′(x)＝－； (6)f(x)＝，则f′(x)＝. 要点二　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__0__ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝__αxα－1__ f(x)＝sin x f′(x)＝__cos_x__ f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin_x__ f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝__axln_a__ (a＞0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝__ex__ f(x)＝logax(a＞0， 且a≠1) f′(x)＝　　 (a＞0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝　　 要点三　导数的运算法则 一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的导数有如下法则： (1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__. (2)积的导数 ①[f(x)g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__； ②[cf(x)]′＝__cf′(x)__； (3)商的导数′＝　　(g(x)≠0)． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若f(x)＝0，则f′(x)＝0.(　　) (2)若F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)·g′(x)．(　　) (3)若f(x)＝ln x，则f′(e)＝1.(　　) (4)若f(x)＝x3＋2x，那么f(x)在x0处的切线斜率最小时x0＝0.(　　) 解析　(1)正确．常数函数的导数等于0. (2)错误．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)． (3)错误．当f(x)＝ln x时，f′(x)＝，所以f′(e)＝≠1. (4)正确．由f(x)＝x3＋2x，得f′(x)＝3x2＋2，当x＝0时，k＝f′(x)min＝2. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　利用导数公式求函数的导数 规律总结 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． (2)对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． (3)要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别． 【例题1】 求下列函数的导数． (1)y＝cos ；　(2)y＝；　(3)y＝； (4)y＝lg x; (5)y＝5x; (6)y＝cos. 解析　(1)因为y＝cos ＝，所以y′＝0. (2)因为y＝＝x－5，所以y′＝－5x－6. (3)因为y＝＝＝x，所以y′＝x. (4)因为y＝lg x，所以y′＝. (5)因为y＝5x，所以y′＝5xln 5. (6)因为y＝cos＝sin x，所以y′＝cos x. 【变式1】 求下列函数的导数． (1)y＝x；　(2)y＝(x＞0)； (3)y＝sin(π－x)． 解析　 (1)因为y＝x＝x，所以y′＝(x)′＝x＝. (2)因为y＝＝(x＞0)，所以y′＝()′＝(x>0)． (3)因为y＝sin(π－x)＝sin x，所以y′＝cos x. 探究二　利用导数的运算法则求导数 规律总结 (1)理解并掌握求导法则和公式的结构规律，熟记常见基本初等函数的导数公式是进行求导运算的前提． (2)进行求导运算时，要善于分析函数解析式的结构特点，必要时应先对解析式进行恒等变形，化简解析式，再求导． 【例题2】 求下列函数的导数． (1)y＝x3＋sin x； (2)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝. 解析　(1)y′＝(x3＋sin x)′＝(x3)′＋(sin x)′＝3x2＋cos x. (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝(3x2)′＋(xcos x)′＝3×2x＋x′cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－xsin x. (3)y′＝′＝ ＝－. 【变式2】 求下列函数的导数． (1)y＝－sin； (2)y＝； (3)y＝xlog3x； (4)y＝xln. 解析　(1)因为y＝－sin ＝sin x，所以y′＝′＝cos x. (2)y′＝ ＝＝－. (3)y′＝x′log3x＋x(log3x)′＝log3x＋x·＝log3x＋. (4)因为y＝x·ln x＝xln x，所以y′＝′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋. 探究三　导数计算的综合应用 规律总结 三次函数求导问题 由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来比较容易理解．解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数对图象的影响等． 【例题3】 (1)已知函数f(x)＝，若f′(1)＝，则实数a的值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________. 解析　 (1)由已知条件可得f′(x)＝＝.因为f′(1)＝， 所以＝，解得a＝4.故选B项． (2)由题意和图象得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，所以解得故函数f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x. 答案　(1)B　(2)f(x)＝2x3－9x2＋12x 【变式3】 如图中有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝(　　) A. B．－ C. D．－或 答案　B 解析　 f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)]·[x＋(a－1)]，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，由根与系数的关系得解得a＝－1.故f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－.故选B项． 1．函数f(x)＝x＋ex的导数是(　　) A．ex B．1＋ C．1＋xex－1 D．1＋ex 答案　D 解析　函数f(x)的导数为f′(x)＝1＋ex.故选D项． 2．下列函数满足f′(x)＝f(x)的是(　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ln x 答案　A 解析　若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex＝f(x)，故A项符合题意；若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x≠f(x)，故B项不符合题意；若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x≠f(x)，故C项不符合题意；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝≠f(x)，故D项不符合题意．故选A项． 3．已知f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)，若f′(1)＝，则α＝(　　) A. B． C． D． 答案　D 解析　因为f(x)＝xα，所以f′(x)＝αxα－1，所以f′(1)＝α＝.故选D项． 4．函数y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程为________. 解析　当x＝0时，y＝sin 0＋e0＝1，即点(0,1)在函数y＝sin x＋ex的曲线上．又y＝sin x＋ex的导数y′＝cos x＋ex，所以在点(0,1)处的切线斜率为k＝cos 0＋e0＝2，即在点(0,1)处的切线方程为2x－y＋1＝0. 答案　2x－y＋1＝0 学科网（北京）股份有限公司 $$