4.3.2.2 等比数列前n项和的性质及应用（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学习目标] 1.掌握等比数列前n项和的性质及应用，增强数学运算和逻辑推理的核心素养(重难点).2.掌握等比数列的实际应用，培养数学建模和数学运算的核心素养.3.能用分组转化法求数列的和，增强数学运算和逻辑推理的核心素养． 要点一　等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的__指数__型函数．数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数__y＝Aqx－A__图象上的一群孤立的点．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的__正比例__函数，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数__y＝ax__图象上的一群孤立的点． 要点二　等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q； ②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则＝q. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝3×2n－3，则该数列是等比数列．(　　) (2)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.(　　) (3)若数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　) (4)已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，则{Sn}也是递增数列．(　　) 解析　(1)正确．等比数列的前n项和公式可以写成Sn＝Aqn－A(q≠1)的形式，所以该数列是等比数列． (2)错误.＝q＝＝. (3)错误．若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列． (4)错误．当a1<0,0<q<1时，等比数列{an}是递增数列，此时an<0，从而{Sn}是递减数列，结论错误． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 探究一　等比数列前n项和性质的应用 规律总结 解决有关等比数列的前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列的前n项和的相关性质，则可以避繁就简，运算简便的同时避免了对公比q的讨论．解题时把握好等比数列的前n项和性质的使用条件，并结合题设寻找使用性质的切入点． 【例题1】 (1)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 (2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝__________. 解析　(1)因为{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即4,2，S6－6成等比数列，所以S6－6＝1，即S6＝7.故选A项． (2)设x＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，y＝a1＋a3＋a5＋…＋a79，则＝q＝3，即x＝3y.又x＋y＝S80＝32，所以x＝32，解得x＝24. 答案　 (1)A　(2)24 【变式1】 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝(　　) A．－2 B．－ C. D．2 (2)若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝__________. 解析　(1)由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，所以S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝＝2.故选D项． (2)因为Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，所以3－2k＝0，即k＝. 答案　 (1)D　(2) 探究二　分组求和法 规律总结 (1)应用条件：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成． (2)解题步骤 ①分组：分析通项公式或对通项公式适当变形，分为可求和数列相加的形式； ②求和：分别对分组后的数列求前n项和； ③相加：相加得原数列的前n项和． 【例题2】 在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1＝2,8a2＋2a4＝a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为8a2＋2a4＝a6，所以8a1q＋2a1q3＝a1q5，又a1＝2，所以8＋2q2＝q4，解得q2＝4，所以q＝2.所以an＝a1qn－1＝2n，n∈N*. (2)由(1)知bn＝2n＋2n，所以Tn＝(21＋2)＋(22＋4)＋(23＋6)＋…＋(2n＋2n)＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋(2＋4＋6＋…＋2n)＝2(2n－1)＋＝2n＋1＋n2＋n－2.所以数列{bn}的前n项和为Tn＝2n＋1＋n2＋n－2，n∈N*. 【变式2】 求数列2，4，6，…，2n＋，…的前n项和Sn. 解析　由已知条件可得Sn＝2＋4＋6＋…＋＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋＝＋＝n(n＋1)＋－＝n2＋n－＋. 探究三　等比数列前n项和的实际应用 解题技巧 解数列应用题的具体方法和步骤 (1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意项数是多少．②弄清题目中主要的已知事项． (2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达． (3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式． 【例题3】 借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061,1.015≈1.051)? 解析　方法一　设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…，a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.由题意可知a6＝0，即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，即a＝.因为1.016≈1.061，所以a≈≈1 739.故每月应支付1 739元． 方法二　一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)；另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝＝a(1.016－1)×102(元)．由S1＝S2，得a＝.以下解法同方法一，所以a≈1 739，故每月应支付1 739元． 【变式3】 中国古代数学著作《九章算术》中的很多题目取材于现实生活，有很强的应用性和趣味性，其中一道经过改编的题目是这样的：一堆栗子一斗装不完，两斗装不满，每斗装400个栗子，一群猴子分这堆栗子，第一只猴子取走全部的一半多一个，第二只猴子取走剩下的一半多一个，……所有猴子均按此规则依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，则这群猴子的只数为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案　A 解析　设共有x只猴子，第n只猴子取栗子的个数为an，则第n只猴子取栗子后，所剩栗子的个数为an－2, 故an＋1＝(an－2)＋1＝an，＝，故ax＝a1·x－1，又ax＝2，所以2＝a1·x－1，得a1＝2x，由题意得400<a1＋a2＋…＋ax<800，即400<2x＋2x－1＋…＋2<800，即400<2(2x－1)<800，即201<2x<401，易知当且仅当x＝8时，符合题意．故选A项． 1．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若Sn＝3×2n＋a，则a＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 答案　D 解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，易知q≠1，由Sn＝，设＝A，则Sn＝－Aqn＋A，又Sn＝3×2n＋a，所以a＝－3.故选D项． 2．已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于(　　) A．31 B．33 C．35 D．37 答案　B 解析　设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，所以S10＝1＋32＝33.故选B项． 3．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　) A．12 B．10 C．8 D．6 答案　C 解析　由题意可知q＝2.设该数列为a1，a2，…，a2n，则an＋an＋1＝24.又a1＝1，所以qn－1＋qn＝24，即2n－1＋2n＝24，解得n＝4.故项数为8.故选C项． 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝__________. 解析　设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝2S.因为S100＝36，所以S＋2S＝36，所以S＝12，所以a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12. 答案　12 学科网（北京）股份有限公司 $$