4.3.2.1 等比数列的前n项和公式（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习目标] 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，发展逻辑推理的核心素养(重点).2.会用错位相减法求数列的和，增强逻辑推理和数学运算的核心素养(难点).3.掌握等差数列与等比数列的综合应用，强化逻辑推理和数学运算的核心素养(难点)． 要点一　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 要点二　错位相减法 1．推导等比数列前n项和公式的方法叫__错位相减__法． 2．该方法一般适用于求一个__等差__数列与一个__等比__数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bncn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 思考：如果Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1，其中{an}是公差为d的等差数列，q≠1，两边同乘q，再两式相减会怎样？ 提示　Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1　 ①，qSn＝a1q＋a2q2＋…＋an－1qn－1＋anqn　 ②，①－②得，(1－q)Sn＝a1＋(a2－a1)q＋(a3－a2)·q2＋…＋(an－an－1)qn－1－anqn＝a1＋d(q＋q2＋…＋qn－1)－anqn，同样能转化为等比数列求和． 要点三　等差数列与等比数列的综合应用 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用；既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据问题情境具体分析，寻找解题的突破口． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　) (2)等比数列的前n项和公式可以简写成Sn＝－Aqn＋A(q≠1)．(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　) (4)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(　　) 解析　(1)错误．公式中应注意q＝1的情况． (2)正确．由等比数列的前n项和公式可知命题正确． (3)错误．要分a＝0，a＝1和a≠0且a≠1讨论求解． (4)正确．可知该数列为常数数列． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 探究一　等比数列前n项和公式的基本运算 规律总结 (1)知三求二：在等比数列前n项和公式中，共有a1，an，q，n和Sn这五个量，已知其中任意三个，都可以求出另外两个． (2)两种思想：关于等比数列前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，求出首项a1和公比q这两个基本量，从而求出通项公式．同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想． (3)一个注意点：凡涉及等比数列前n项和的问题，必须注意公比q是否等于1，如果不确定，应分q＝1和q≠1两种情况讨论． 【例题1】 在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. (1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n； (2)S3＝，S6＝，求an及Sn； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 解析　(1)由题意知解得 (2)S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，即1＋q3＝＝9，解得q＝2. 将q＝2代入S3＝＝得a1＝，所以an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－. (3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而或又Sn＝＝126，所以q＝2或q＝. 【变式1】 (1)(2023·全国甲)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A. B． C．15 D．40 (2)(2023·全国甲)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________. 解析　(1)由题设公比为q，且q>0，则1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)·(q＋2)＝0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C项． (2)若公比q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不合题意，所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·＝7·，即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－. 答案　(1)C　(2)－ 探究二　错位相减法求和 规律总结 错位相减法的适用范围及注意事项 (1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和． (2)注意事项 ①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1. 【例题2】 设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则q>0.由题意可得解得故an＝2＋2(n－1)＝2n，bn＝2×2n－1＝2n. (2)证明：因为cn＝＝＝，设数列{cn}的前n项和为Sn，所以Sn＝＋＋＋…＋，① 所以Sn＝＋＋…＋＋， ② 所以①－②得Sn＝－＝－＝1－－，所以Sn＝2－－，又因为n∈N*，所以>0，>0，所以Sn＝2－－<2，即c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*. 【变式2】 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝的前n项和为Tn，求Tn. 解析　(1)设正项等差数列{an}的公差为d，则d＞0.因为S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，所以3a2＝12，所以a2＝4.又2a1，a2，a3＋1成等比数列，所以a＝2a1(a3＋1)，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，所以a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2. (2)由(1)可得bn＝＝＝(3n－2)×，所以Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－2)×. ① ①×得Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×.　 ② ①－②得Tn＝＋3×＋3×＋3×＋3×＋…＋3×－(3n－2)×＝＋3×－(3n－2)×＝－×－(3n－2)×，所以Tn＝－×－×＝－×. 探究三　 等差数列与等比数列的综合应用 解题技巧 与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧： (1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题． (2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用． (3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系． 【例题3】 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由． 解析　(1)设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.由题意得即解得故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1. (2)由(1)得Sn＝＝1－(－2)n.若存在n，使得Sn≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.当n为偶数时，(－2)n＞0，上式不成立；当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，则n≥11.综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N*，k≥5}． 【变式3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝5×3n－3，bn＝. (1)证明：数列{an－2×3n}为常数列； (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)证明：当n＝1时，S1＋a1＝5×3－3＝12，所以a1＝6；当n≥2时，由Sn＋an＝5×3n－3　①，得Sn－1＋an－1＝5×3n－1－3　②，①－②得2an－an－1＝10×3n－1，所以an－2×3n＝(an－1－2×3n－1)，因为a1＝6，所以a1－2×31＝0，所以an－2×3n＝0，故数列{an－2×3n}为常数列． (2)由(1)知an＝2×3n，所以bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝1－＝. 1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝.故选C项． 2．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，解得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.故选C项． 3．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S3＝(　　) A．15 B．7 C．8 D．16 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，因为4a1,2a2，a3成等差数列，所以4a2＝4a1＋a3，所以4q＝4＋q2，所以q＝2.所以an＝2n－1，所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋2＋4＝7.故选B项． 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n×2n，则Sn＝__________. 解析　因为an＝n×2n，所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n　①，所以2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1　②，①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2.所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)． 答案　(n－1)2n＋1＋2(n∈N*) 学科网（北京）股份有限公司 $$