4.3.1.2 等比数列的性质（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等比数列的性质 [学习目标] 1.掌握等比数列的性质及其应用，发展逻辑推理和数学运算的核心素养(重难点).2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题，提升数学建模和数学运算的核心素养． 要点一　等比数列的单调性 公比q 单调性 首项a1 q>1 0<q<1 q＝1 a1>0 __递增__数列 __递减__数列 常数列 a1<0 __递减__数列 __递增__数列 要点二　等比数列的常用性质 1．对称性：a1an＝__a2an－1__＝a3an－2＝…＝aman－m＋1(n>m且n，m∈N*)． 2．若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__akal＝aman__. 3．若m，p，n成等差数列，则__am，ap，an__成等比数列． 4．在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列． 5．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是　q，，q2　；若数列{an}是各项都为正数的等比数列且公比为q，则数列{lg an}是公差为　lg q　的等差数列． 6．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)在等比数列{an}中，当a1＞0时，{an}是递增数列．(　　) (2)在等比数列{an}中，当q＞1时，{an}是递增数列．(　　) (3)若数列{an}是等比数列，那么，{a}，{|an|}都是等比数列．(　　) (4)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(　　) 解析　(1)错误．当0<q<1，a1＞0时，数列{an}是递减数列． (2)错误．当q＞1，a1＜0时，数列{an}是递减数列． (3)正确．若{an}的公比为q，则，{a}，{|an|}的公比分别为，q2，|q|. (4)正确．由等比数列的性质可知，命题正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 探究一　灵活设项求解等比数列 解题技巧 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三个数成等比数列，一般可设为，a，aq. (2)四个数成等比数列，一般可设为，，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3. (3)五个数成等比数列，一般可设为，，a，aq，aq2. 【例题1】 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数． 解析　方法一　设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a.由题意得解得q＝2或q＝.当q＝2时，a＝6，这四个数为3,6,12,18；当q＝时，a＝，这四个数为，，，. 方法二　设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为，因此这四个数为，a－d，a，a＋d.由题意得解得或故这四个数为3,6,12,18或，，，. 方法三　设第一个数为a，则第四个数为21－a，设第二个数为b，则第三个数为18－b，则这四个数为a，b,18－b，21－a，由题意得解得或故这四个数为3,6,12,18或，，，. 【变式1】 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列，求这四个数． 解析　设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列， 即 整理得解得 因此这四个数分别是3,6,12,24. 探究二　等比数列的性质及应用 解题技巧 解决等比数列的计算问题常用的两种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其他量．这是解决等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁琐． (2)数列性质：等比数列每相邻几项的积成等比数列、与首末两项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等经常被使用． 【例题2】 已知数列{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解析　(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝. (2)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)·(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10. 【变式2】 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．±5 (2)在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则的值为(　　) A．－或 B．－ C. D．或－ 解析　(1)方法一　由等比中项的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝a＝5，a7a8a9＝(a7a9)·a8＝a＝10，所以a2a8＝50，所以a4a5a6＝(a4a6)·a5＝a＝()3＝(50)3＝5.故选A项． 方法二　由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±＝±5.又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝5.故选A项． (2)等比数列{an}中，因为a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，所以a2a16＝2.又因为a2a16＝a ＝2，所以a9＝±，所以＝＝a9＝±.故选D项． 答案　(1)A　(2)D 探究三　等比数列的实际应用 答题模板 解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到实际问题中． 【例题3】 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解析　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1qn－1＝13.5×0.9n－1. 所以n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n(万元)． (2)由(1)得a5＝a1q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． 【变式3】 我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律，至少________年后，每年投入的资金可达250万元以上(精确到1年，参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)． 解析　由题知，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%，满足等比数列模型，令a1＝50，q＝1.2，所以an＝50·(1.2)n－1， 令an＝50·(1.2)n－1＝250， 所以(1.2)n－1＝5， 所以n－1＝log1.25＝＝＝8.75， 所以n＝9.75，又因为n为正整数， 所以n＝10. 答案　10 1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　A 解析　因为a3a11＝a＝16，且数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，得a5＝1.故选A项． 2．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝32，则的值为(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 答案　B 解析　因为a3a5a7a9a11＝32，所以a＝32，故a7＝2，所以＝＝＝＝2.故选B项． 3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________. 解析　设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8. 答案　8 4．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 解析　这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048. 答案　2 048 学科网（北京）股份有限公司 $$