4.3.1.1 等比数列的概念及简单表示（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及简单表示 [学习目标] 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，培养数学抽象的核心素养(重点).2.体会等比数列与指数函数的关系，发展逻辑推理的核心素养． 要点一　等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的__前__一项的__比__都等于__同一个__常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公比__，__公比__通常用字母__q__表示(q≠__0__)． 要点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成__等比数列__，那么G叫做a，b的等比中项，此时三个数满足关系式__G2＝ab__. 要点三　等比数列的通项公式 1．通项公式：一般地，首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝__a1qn－1__. 2．通项公式的推广 公比为q的等比数列{an}中任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示，即an＝amqn－m(m，n∈N*)． 3．递推公式 ＝q(n∈N*且n>1)或＝q(n∈N*). 要点四　等比数列与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)还可以改写成an＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)在x＝n时的函数值，即an＝f(n)．因此等比数列{an}对应的__点列(n，an)__分布在指数型函数f(x)＝·qx的图象上，即等比数列{an}的图象是函数　f(x)＝·qx　的图象上的一群__孤立的点__. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若一个数列从第二项起，每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的项不能为0，但公比可为0.(　　) (3)常数列既是等差数列，又是等比数列．(　　) (4)任何两个数都有等比中项．(　　) (5)当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项．(　　) 解析　(1)错误．根据等比数列的定义知，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列． (2)错误．当公比为零时，根据等比数列的定义知，数列中的项也为零． (3)错误．当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列． (4)错误．当两数同号且不为零时才有等比中项，异号时不存在等比中项． (5)错误．如数列0,0,5就不是等比数列，所以0不是等比中项． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 探究一　等比数列通项公式的基本运算 规律总结 等比数列通项公式的应用 (1)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． (2)求a1和q的两种常用方法 ①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法； ②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 【例题1】 (1)已知等比数列{an}中，a4＝2，a7＝8，求an. (2)已知等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解析　(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. 方法一　 因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. 方法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，即q＝.所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2. (2)方法一　由题意可得 由得q＝，从而a1＝32，又an＝1，所以32×n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6. 方法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.又a1q＋a1q4＝18，所以a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 【变式1】 (1)在等比数列{an}中，已知a1＝3，q＝－2，求a6. (2)在等比数列{an}中，已知a3＝20，a6＝160，求an. 解析　(1)由题意和等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q，则解得所以an＝a1qn－1＝5×2n－1，n∈N*. 探究二　等比中项及其应用 误区防错 等比中项应用的三点注意 (1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab即可，注意a，b，G均不为零． (2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程． (3)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 【例题2】 已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解析　设该等比数列的公比为q， 所以 所以 ②÷①得q(1－q)＝，解得q＝，所以a1＝＝＝96.设G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·10＝9，所以a5，a7的等比中项是±3. 【变式2】 (1)已知三个数2，a,18成等比数列，则a的值为(　　) A．6 B．－6 C．±6 D．±3 (2)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 解析　(1)因为2，a,18成等比数列，所以a2＝2×18＝36，所以a＝±6.故选C项． (2)因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.故选B项． 答案　(1)C　(2)B 探究三　等比数列的判定与证明 解题技巧 等比数列的判定与证明方法 (1)定义法：在an≠0(n∈N*)的前提下，若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数，且n≥2)，则{an}是等比数列．由＝q，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝anan＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列的通项公式可以写成an＝a1qn－1(a1，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． 【例题3】 已知a，b，c，d成等比数列，a＋b，b＋c，c＋d均不为零，求证：a＋b，b＋c，c＋d成等比数列． 证明　方法一　由已知得b2＝ac，c2＝bd，＝，即bc＝ad.因为(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝ac＋bd＋bc＋ad＝(a＋b)·(c＋d)，而a＋b，b＋c，c＋d均不为零，所以a＋b，b＋c，c＋d成等比数列． 方法二　由已知，可设b＝aq，c＝aq2，d＝aq3(q为常数且q≠0)，因为a＋b，b＋c，c＋d均不为零，所以＝＝q，＝＝q，即＝，所以a＋b，b＋c，c＋d成等比数列． 【变式3】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析　(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，可知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.所以＝2(n∈N*)．所以数列{an＋1}是等比数列． (2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1，n∈N*. 1．已知下列各数列：①－1，－2，－4，－8；②1，－，3，－3；③a，a，a，a；④，，，.其中成等比数列的是(　　) A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 答案　C 解析　由等比数列的定义知①②④都成等比数列；当a＝0时，③不成等比数列．故选C项． 2．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3＝(　　) A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 答案　C 解析　由a4＝a1q3且a1＝8，a4＝64，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝＝32.故选C项． 3．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝(　　) A．6 B．－6 C．－12 D．12 答案　AB 解析　因为a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，解得b＝±4，所以ab＝±6.故选AB项． 4．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 答案　A 解析　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.故选A项． 学科网（北京）股份有限公司 $$