4.2.1.2 等差数列的性质（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等差数列的性质 [学习目标] 1.掌握等差数列的有关性质，提升数学抽象的核心素养(重点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养(难点).3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题，提升数学建模和数学运算的核心素养(重点)． 要点一　等差数列的常用性质 1．等差数列通项公式的变形及推广 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，其几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． (2)an＝am＋__(n－m)d__(m，n∈N*)，用这个公式可以通过任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. (3)d＝(m，n∈N*，且m≠n)，即为直线的斜率公式k＝，可用来由等差数列任两项求公差． 2．若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n＝2p(k，l，m，n，p∈N*)，则ak＋al＝am＋an＝2ap. 3．若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1，a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 4．若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{c＋an}是公差为d1的等差数列(c为任一常数)，{c·an}是公差为cd1的等差数列(c为任一常数)，{an＋an＋k}是公差为__2d1__的等差数列(k为常数，k∈N*)，{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列(p，q为常数)． 5．若{an}是以d为公差的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为__md__的等差数列． 要点二　由函数的图象可得等差数列的单调性 当d>0时，数列{an}为__递增数列__(如图1)； 当d<0时，数列{an}为__递减数列__(如图2)； 当d＝0时，数列{an}为__常数列__(如图3)． 　　 图1　　　 　图2　　　 　图3 思考：已知数列{an}是等差数列，当ap＋aq＝2am时，是否也一定有p＋q＝2m成立？ 提示　不一定．设公差为d，当ap＋aq＝2am时，因为ap＋aq＝[a1＋(p－1)d]＋[a1＋(q－1)·d]＝2a1＋(p＋q－2)d，而2am＝2a1＋2(m－1)d，所以2a1＋(p＋q－2)d＝2a1＋2(m－1)d，即(p＋q－2)d＝2(m－1)d，显然当d≠0时，当且仅当2(m－1)＝p＋q－2时，(p＋q－2)d＝2(m－1)d成立，即此时必有p＋q＝2m；而当d＝0时，则对于任意的p，q，m都有(p＋q－2)d＝2(m－1)d成立，此时不一定有p＋q＝2m，即对常数列，当ap＋aq＝2am时，p＋q＝2m不一定成立． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．(　　) (2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．(　　) (3)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．(　　) 解析　(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值不是等差数列． (2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5的绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列． (3)正确．当d>0时，为递增数列；当d＝0时，为常数列；当d<0时，为递减数列． (4)正确．an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 探究一　等差数列性质的应用 规律总结 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差进行求解，属于通用方法；或者兼而有之，这些方法都运用了整体代换与方程思想． 【例题1】 (1)已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．30 B．15 C．5 D．10 (2)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 解析　(1)因为数列{an}为等差数列，a2＋a4＝6，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝(a2＋a4)＝×6＝15.故选B项． (2)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，所以{cn}的公差d＝c2－c1＝0，所以c37＝100，即a37＋b37＝100.故选C项． 答案　(1)B　(2)C 【变式1】 (1)已知{an}为等差数列，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. (2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________. 解析　 (1)因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，由等差数列的性质知a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以5a5＝450，所以a5＝90.所以a2＋a8＝2a5＝180. (2)方法一　设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 方法二　因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35. 答案　(1)180　(2)35 探究二　灵活设元解等差数列 规律总结 等差数列的设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列． (2)当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d. (3)当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d. 【例题2】 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式，并判断－34是否为该数列的项． 解析　方法一　设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，解得a＝6.又前三项的乘积为66，所以6×(6＋d)(6－d)＝66，解得d＝±5.由于该数列为递减数列，所以d＝－5，且首项为11，所以通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16.令－5n＋16＝－34，解得n＝10.所以－34是数列{an}的第10项． 方法二　根据所给已知条件可得 即 解得或因为数列{an}是递减等差数列，所以d＜0.故a1＝11，d＝－5，所以an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16，即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，解得n＝10.所以－34是数列{an}的第10项． 【变式2】 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． 解析　设第3个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知条件可以得到 整理得解得a＝1，d＝±.当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－. 探究三　等差数列的实际应用 规律总结 解决等差数列实际问题的基本步骤 (1)将已知条件翻译成数学(数列)问题； (2)构造等差数列模型(明确首项和公差)； (3)利用通项公式解决等差数列问题； (4)将所求出的结果回归为实际问题． 【例题3】 某公司2023年生产一种数码产品，获利200万元，从2024年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？ 解析　记2023年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……则该公司每年获得的利润构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司生产此产品将出现亏损．设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.由题意知数列{an}为递减数列，令an＜0，可得220－20n＜0，解得n＞11，所以从第12年起，即从2034年开始，该公司生产此产品将出现亏损． 【变式3】 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为10.5尺，立夏当日日影长为4.5尺，则春分当日日影长为(　　) A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．7.5尺 答案　D 解析　设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{an}，则立春当日日影长为a4＝10.5，立夏当日日影长为a10＝4.5，所以春分当日日影长为a7＝(a4＋a10)＝7.5.故选D项． 1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　) A．5 B．8 C．10 D．14 答案　B 解析　由a3＋a5＝a1＋a7可得a7＝10－2＝8.故选B项． 2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 答案　A 解析　由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又因为a1＋a9＝10，即2a5＝10，所以a5＝5.故选A项． 3．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两个根，则a5＋a8＝________. 解析　由根与系数的关系得a3＋a10＝3，又{an}是等差数列，所以a5＋a8＝a3＋a10＝3. 答案　3 4．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N*，则am＋n的值为________. 解析　设等差数列的公差为d，则d＝＝＝－1，从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0. 答案　0 学科网（北京）股份有限公司 $$