4.2.1.1 等差数列的概念及简单表示（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及简单表示 [学习目标] 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，发展数学抽象的核心素养(重难点).2.体会等差数列与一元一次函数的关系，增强逻辑推理的核心素养.3.掌握等差数列的判定方法，增强逻辑推理和数学运算的核心素养(重点)． 要点一　等差数列的概念 1．文字语言 一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个__常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__公差__，公差通常用字母d表示，可正可负可为零． 2．符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)． 要点二　等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，__A__叫做a与b的等差中项，这三个数满足关系式a＋b＝__2A__. 要点三　等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝__a1＋(n－1)d__. 思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？ 提示　还可以用累加法，过程如下：因为a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，所以an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，所以an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)． 要点四　 等差数列与一次函数的联系与区别 等差数列 一次函数 解析式 an＝dn＋(a1－d)(n∈N*) f(x)＝dx＋(a1－d)(d≠0，x∈R) 相同点 当d≠0时，解析式是关于自变量n的一次形式 解析式是关于自变量x的一次形式 不同点 (1)其中的d是数列的公差，没有限定d≠0，当d＝0时表示的是常数列； (2)定义域为N*或其有限子集； (3)图象是一条直线上均匀分布的一系列孤立的点 (1)其中d是直线的斜率，限定了d≠0； (2)定义域为R； (3)图象是一条不能与x轴平行或重合的直线 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2成立．(　　) (3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) (4)数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列．(　　) 解析　(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列． (2)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2成立． (3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c是等差数列． (4)错误．由等差数列的定义知，该数列从第二项起才是等差数列． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 探究一　等差数列的通项公式及其应用 规律总结 等差数列通项公式的应用 (1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”． (2)从函数的角度看等差数列的通项公式．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数． (3)由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，则可以写出数列中的任意一项． 【例题1】 (1)在等差数列{an}中，首项a1＝－1，公差d＝3，则当an＝2 024时，n＝(　　) A．673 B．674 C．675 D．676 (2)在等差数列40,37,34，…中，第一个负数项是(　　) A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项 (3)在等差数列{an}中，若a3＝12，a6＝27，则其通项公式为__________. 解析　(1)因为an＝a1＋(n－1)d，所以－1＋3(n－1)＝2 024，解得n＝676.故选D项． (2)因为首项a1＝40，公差d＝－3，所以an＝40－3(n－1)＝43－3n.令an＝43－3n<0，解得n>.因为n∈N*，所以n≥15，即第一个负数项是第15项．故选C项． (3)设首项为a1，公差为d，则解得故an＝2＋5(n－1)＝5n－3. 答案　(1)D　(2)C　(3)an＝5n－3 【变式1】 在等差数列{an}中，求解下列各题． (1)已知公差d＝－，a7＝8，求a1； (2)已知a1＋a3＝a4＝8，求a6； (3)已知a1＝，公差d>0，且从第10项开始，每一项都大于1，求此等差数列的公差d的取值范围． 解析　 (1)由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×，解得a1＝10. (2)设公差为d，由即 得从而an＝2＋(n－1)×2＝2n，所以a6＝2×6＝12. (3)由题意可得解得<d≤.故此等差数列的公差d的取值范围是. 探究二　等差中项及其应用 解题技巧 (1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝. (2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 【例题2】 (1)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________. (2)已知，，是等差数列，求证：，，也是等差数列． 解析　 (1)由题意得所以3(m＋n)＝20＋16＝36，所以m＋n＝12，所以＝6，即m和n的等差中项是6. 答案　6 (2)证明：因为，，是等差数列，所以＝＋，即2ac＝b(a＋c)．因为＋＝＝＝＝＝，所以，，也是等差数列． 【变式2】 已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求p，q的值． 解析　由x1＝3，得2p＋q＝3.由x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1.将q＝1代入2p＋q＝3，得p＝1.故p＝1，q＝1. 探究三　等差数列的判定与证明 规律总结 判断等差数列的方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列． 【例题3】 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列． 证明　方法一　 因为bn＋1＝＝＝，所以bn＋1－bn＝－＝＝(n∈N*)，为常数．又b1＝＝，所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． 方法二　依题意，因为bn＝，所以bn＋1＝＝＝. 所以bn＋2＝＝＝.所以bn＋bn＋2－2bn＋1＝＋－2×＝0.所以bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N*)，所以数列{bn}是等差数列． 【变式3】 已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝. (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an. 解析　(1)数列是等差数列，理由如下：因为a1＝2，an＋1＝，所以＝＝＋ ，所以－＝(n∈N*)，所以是首项＝，公差d＝的等差数列． (2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，所以an＝. 1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n(n∈N*)，则它的公差d为(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案　C 解析　由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.故选C项． 2．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B＝(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案　B 解析　因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.故选B项． 3．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 答案　AC 解析　A项中，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以2·(2b)＝2a＋2c，所以2a,2b,2c成等差数列，故A项正确；C项中，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C项正确；B，D项中，由2b＝a＋c不能得到2log2b＝log2a＋log2c与2×2b＝2a＋2c，故B，D项不正确．故选AC项． 4．已知＋1与－1的等差中项为a，等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1(n∈N*)，公差为d，则a＋d＝________. 解析　由题意可得a＝＝，d＝3，所以a＋d＝3＋. 答案　3＋ 学科网（北京）股份有限公司 $$