培优训练(一)(范围：4.1～4.2)（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

(范围：4.1～4.2) 一、选择题 1．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2n，则a3＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 答案　C 解析　由题意得a2＝a1＋2＝5，a3＝a2＋4＝9.故选C项． 2．已知等差数列{an}满足a1＝－2，a6＋a8＝20，则{an}的公差为(　　) A．－2 B．2 C．4 D．6 答案　B 解析　设公差为d，因为a8＋a6＝2a7＝20，所以a7＝10，所以a7－a1＝6d＝12，所以d＝2.故选B项． 3．设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为(　　) A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 答案　A 解析　由即解得≤n≤，因为n∈N*，故n＝4.故选A项． 4．(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　) A．a7 B．a8 C．S15 D．S16 答案　BC 解析　由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，S15＝＝15a8为定值，但S16＝＝8(a8＋a9)不是定值．故选BC项． 5．(多选)下列有关数列的说法正确的是(　　) A．数列－2 025,0,4与数列4,0，－2 025是同一个数列 B．数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，则110是该数列的第10项 C．在数列1，，，2，，…中，第8个数是2 D．数列3,5,9,17,33，…的通项公式为an＝2n＋1 答案　BCD 解析　数列－2 025,0,4与4,0，－2 025中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以A项不正确；令an＝n2＋n＝110，解得n＝10或n＝－11(舍去)，所以B项正确；根号里面的数是公差为1的等差数列，第8个数为，即2，所以C项正确；由数列3,5,9,17,33，…的前5项可知通项公式为an＝2n＋1，所以D项正确．故选BCD项． 二、填空题 6．若数列{an}的前n项和Sn＝，则其通项公式为________. 解析　当n＝1时，a1＝S1＝0；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，当n＝1时，a1不满足上式，所以通项公式为an＝ 答案　an＝ 7．一个车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔10 min发出一辆，假设所有司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是60 km/h，则这个车队当天一共行驶了________km. 解析　由题意知，第一辆车行驶的路程为(19－14)×60＝300(km)，且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走×60＝10(km)，这15辆车行驶的路程构成首项为300，公差为－10的等差数列，则15辆车行程的路程之和为S15＝300×15＋×(－10)＝3 450(km)． 答案　3 450 8．张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用某APP记录每天的运动步数．在11月，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则张大爷在11月份的运动步数是________万步． 解析　设张大爷在11月份每天的运动步数构成数列{an}，由题可知该数列为等差数列，且{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(15.8－6.9)＝6.9＋S30－15.8，解得S30＝26.7，所以张大爷在11月份的运动步数是26.7万步． 答案　26.7 三、解答题 9．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a5＝5，S4＝7. (1)求an； (2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，则解得 故an＝1＋·(n－1)＝. (2)因为an＝，所以bn＝＝＝2， 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2＝2＝. 10．在①a1＝13，S10＝－5；②a3＝7，a7＝－5；③S3＝30，S5＝35这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列{an}满足______. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn，以及使得Sn取得最大值时n的值． 解析　(1)选条件①，由数列{an}是等差数列，可设公差为d，则 解得d＝－3， 所以an＝13＋(n－1)×(－3)＝16－3n. 选条件②，由数列{an}是等差数列，可设首项为a1，公差为d， 则解得 所以an＝13＋(n－1)×(－3)＝16－3n. 选条件③，由数列{an}是等差数列，可设首项为a1，公差为d， 则即解得所以an＝13＋(n－1)×(－3)＝16－3n. (2)由(1)知an＝16－3n，Sn＝＝. 令an＝16－3n>0，可得n≤5； 令an＝16－3n<0，可得n≥6， 所以{an}的前5项都是正数，从第6项起是负数，故当n＝5时，Sn最大． 11．设数列{an}，{bn}均为等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　) A. B． C． D． 答案　B 解析　因为等差数列前n项和中，S2n－1＝(2n－1)an，所以S9＝9a5，T9＝9b5，所以＝＝＝，所以＝.故选B项． 12．跑步是一项有氧运动，能提高体内的基础代谢水平，加速脂肪燃烧，养成易瘦体质．小刘最近给自己制定了一个280千米的跑步健身计划，他第一天跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要(　　) A．30天 B．31天 C．32天 D．33天 答案　C 解析　由题意可得，小刘从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1千米，公差为0.5千米．设他经过n天后完成健身计划，则n×1＋×0.5≥280，整理得n2＋3n－1 120≥0，解得n≥32.故选C项． 13．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 026＝ B．在1,2,3，…，200中，被5除余1的数共有41个 C．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若S6－3S2＝24，则S10＝100 D．若有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列，如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝19 答案　ACD 解析　因为a1＝，a2＝1－2＝－1，a3＝1－(－1)＝2，a4＝1－＝，a5＝1－2＝－1，a6＝1－(－1)＝2，所以数列{an}是周期数列，且周期是3，所以a2 026＝a3×675＋1＝a1＝，故A项正确；被5除余1的数是5(n－1)＋1＝5n－4，n∈N*，是首项为1，公差为5的等差数列的通项公式，即an＝5n－4，因为a40＝5×40－4＝196<200，a41＝5×41－4＝201>200，所以200个数字中，有40个数被5除余1，故B项错误；因为数列{an}为等差数列，所以数列为等差数列，设其公差为d，又－＝4d＝4，解得d＝1，又因为＝a1＝1，所以＝n，即Sn＝n2，所以S10＝100，故C项正确；根据条件可得c2＝c20，因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c2＝c20＝1＋(20－11)×2＝19，故D项正确．故选ACD项． 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n(an－4n＋4)(n∈N*)，a2＝14. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：＋＋…＋>. 解析　(1)方法一　当n＝2时，S2＝2(a2－4)，又a2＝14，所以a1＝6，由Sn＝n(an－4n＋4)，n∈N*知，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)·[an－1－4(n－1)＋4]， 相减得(n－1)an－(n－1)an－1－8(n－1)＝0，即an－an－1＝8，故{an}是等差数列， 由a2＝14，得an＝14＋(n－2)×8＝8n－2. 方法二　由Sn＝n(an－4n＋4)，n∈N*，得Sn＝n(Sn－Sn－1－4n＋4)，n∈N*(n≥2)， 即(n－1)Sn－nSn－1＝4(n－1)n，则－＝4，故是等差数列． 当n＝2时，S2＝2(a2－4)，又a2＝14，所以a1＝6，所以＝6，则＝6＋4(n－1)＝4n＋2，即Sn＝4n2＋2n， 所以an＝Sn－Sn－1＝4n2＋2n－[4(n－1)2＋2(n－1)]＝8n－2(n≥2)， 当n＝1时，a1＝6，满足上式． 所以an＝8n－2. (2)证明：由于＝<＝2n＋＝， 则>＝－， 故＋＋…＋>－＋－＋…＋－＝－＝. 15．将正偶数排成如图所示的螺旋状，第一个拐弯处的数是4，第二个拐弯处的数是6，第30个拐弯处的数是________. 解析　由图可知，前n个拐弯处的数依次是4,6,10,14,20,26,34,42,52，…　①，经观察，从第二项开始该数列的每一项减去前一项，得到新数列2,4,4,6,6,8,8,10,10，…　 ②，把数列①的第一项添在数列②的前面得4,2,4,4,6,6,8,8,10,10，…　③，观察数列①和③发现原数列①的第n项an等于数列③的前n项和，即a1＝4，a2＝4＋2＝6，a3＝4＋2＋4＝10，a4＝4＋2＋4＋4＝14，…，故第30个拐弯处的数a30＝4＋2＋4＋4＋…＋28＋28＋30＋30＝2＋2×(2＋4＋6＋…＋30)＝2＋2×＝482. 答案　482 16．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2＋x的图象上． (1)求{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，若不等式Tn>loga(1－a)对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)因为点(n，Sn)在函数y＝x2＋x的图象上，所以Sn＝n2＋n　①， 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)　②， ①－②得an＝n， 当n＝1时，a1＝S1＝＋＝1，符合上式． 所以an＝n(n∈N*)． (2)由(1)知an＝n，则＝， 所以Tn＝ ＝ ＝－. 所以Tn＋1－Tn＝>0， 所以数列{Tn}单调递增， 所以(Tn)min＝T1＝. 要使不等式Tn>loga(1－a)对任意正整数n恒成立，只要>loga(1－a)恒成立即可， 因为1－a>0，所以0<a<1，所以1－a>a，即a<，所以0<a<，即实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$