培优训练(三)(范围：5.1～5.2)（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

培优训练进阶突破 (范围：5.1一5.2) 基础训练I 一、选择题 1.已知一质点的运动方程为s=e十2t,其中s的单位为米，t的单位为秒， 则第2秒末的瞬时速度为() A.1 m/s B.4m/s C.(e2+2)m/s D.(e2+4)m/s 答案C 解析由题意得s'=e+2,故质点在第2秒末的瞬时速度为(e2+2)m/s.故 选C项 2.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[o,t],[山， ,2,上的平均速度分别为1,2”3”则三者的大小关系为() t A.1<2<3 B.1<32 C. 3<21 D 2<31 答案A 解析因为1=ko4,2=k4B,3=kac,由图象知a4k4Bkc,所以1 <2<3故选A项. 3.已知函数y=x)的图象在点P(5,5)处的切线方程是y=一x十8，则f (5)+(5)=() A.2 B.3 C.4 D.8 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 答案 A 解析由于函数y=x)的图象在点P(5,5)处的切线方程是y=一x十8， 故5)=-5+8=3，(5)=-1，故5)+(5)=2.故选A项 4.已知函数fx)=sinx十cosx,x∈（π，2）.若fxo)=0,则xo=() A.π4 B.π2 C.3r4 D.5r4 答案D 解析因为f(x)=cosx一sinx,所以f(xo)=cos xo一sin xo-=0,即tan xo =1,又o∈(m,2元)，所以x0=5r4.故选D项 5.(多选)过点P(0,3)且与曲线x)=2x十1)3+1相切的直线方程为() A.6x+y-3=0 B.6x-y+3=0 C.5x-2y+6=0 D.3x-2y+6=0 答案BD 解析设切点坐标为(xo2(xo十1)3+1)，因为f(x)=6x十1)2，所以切线斜率 为k=(xo)=6(xo十1)2，切线方程为y一2(x0十1)3+1]=6(xo十1)(x一xo),切线 过点P(0,3),代入得3-2(xo+1)3+1]=6(xo+1)2(一xo),可化简为(xo+1)3-3x0 (xo十1)2=1，即一2x30一3x20=0,解得0=0或x0=一32，则所求的切线方程为 6x-y十3=0或3x一2y+6=0.故选BD项. 二、填空题 6.设点P是曲线y=er一3x十23上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为a, 则角a的取值范围是 解析因为y=e-3x十23，所以y'=e-3>-3.设切线的倾斜角为a,则 tn心一3，即0≤a<π2或2π3<a元.所以角a的取值范围是0，\f(T2))U\ a\vs4al\co1(f(2π3)，π). 答案0，\f(π2)U\avs4\al\col(f(2π3)，π) 7.已知曲线x)=m3x3一x在点A(0,0)与B(1,1)处的切线互相垂直， 则实数m= 解析由x)=m3x3一x,得(x)=mx2-1,则曲线在点A(0,0)处切线的 斜率为子(0)=一1，点B(1,1)处切线的斜率为f(1)=m一1.又因为两条切线 ·独家授权侵权必究· 享.学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 互相垂直，所以一1=f(0)f(1)=一1×(m一1)，解得m=2. 答案2 8.已知(x)=sinx十cosx,m+1(x)是f狱x)的导函数，即(x)=f(x),(x) =f2),…,fn+1c)=子)，n∈N,则2()=」 解析因为f(x)=sinx十cosx,所以f(x)=f(x)=cosx一sinx,f(x)=f2 (x)=一sinx-cosx,f4(x)=f3(x)=一cosx+sinx,f(x)=f4x)=sinx十cosx,…, f+4(x)=fx),即fx)是周期为4的周期函数，fo2(x)=f(x)=一sinx一cosx. 答案一sinx-cosx 三、解答题 9.求下列函数的导数. (1y=1nxx2: (2)x)=1\r(1-x2): (3x)=e-0.05x+1; (4)x)=(sin2x+1)2 解析(1)y'=1nx'·x2-1nx·x2'x4 =1xx4=1-21nxx3. 2) (2)令4(x)=1-x2,p(0)=u 则fx)=p[ux, 而40=-2，p'0=-1242》 2) 所以f(x)=-2xavs4 alcol(-f132)=x(1-x2) (3)令u(x)=-0.05x+1,p(u)=e, 则x)=p[ux, 而'(x)=-0.05,p'(0=e", 故(x)=e-0.05x+1X(-0.05)=-0.05e-0.05x+1 (4)令4(x)=sim2x+1,p(）=2, 则x)=p[u(x, ·独家授权侵权必究· 亨学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.2 xxk.com 您身边的互联网+教辅专家 u'(x)=2cos 2x,o'(u)=2u, f(x)=2cos 2x2u=4cos 2x(sin 2x+1), 化简得f(x)=2sin4x+4cos2x 10.已知曲线C:y=x2-x+2. (1)求曲线C在点(1,2)处的切线方程： (2)求过点(2,3)且与曲线C相切的直线方程. 解析(1)曲线C:y=x2一x十2，所以y'=2x一1，斜率k=y'k=1=1, 所以曲线y=x2-x十2在点(1,2)处的切线方程为y一2=x一1，即x一y十1= 0. (2)因为点(2,3)不在曲线y=x2-x+十2上， 所以设切点为(xo,x20一xo十2)，易得切线的斜率为2x0一1. 所以切线方程为y一(x20一xo十2)=(2x0一1)(x一xo)(*), 又因为此切线过点(2,3)， 所以3一(x20-x0+2)=(2x0一1)(2一x0), 解得x0=1或xo=3, 代入()式得，过点(2,3)且与曲线C:y=x2一x+2相切的直线方程为x一y+1 =0或5x-y-7=0. 川能力提升 11.若函数fx)=(x-2023)x-2024x-2025)x-2026),则(2025)= ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案A 解析令g(x)=(x-2023)c一2024)(x-2026),则x)=(x一2025)gx) 求导得(x)=gw)+(x-2025)g′(x),所以(2025)=g(2025)=2×1×(-1) =一2.故选A项 12.(多选)设函数孔x)在xo处可导，下列式子中与f(xo)相等的是( A.1im\s\do4(Ax→0)fx0-fx0-2△x2△x B.1im\s\do4(△x→0)fx0+Ax-fx0-△x△x C.1im\s\do4(△x→0)fx0+2△x-fx0+△x△x ·独家授权侵权必究+ 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 D.1im\sdo4(△x+0)fx0+△x-f x0-2△X△X 答案AC 解析1im\s\do4(△x→0)fx0-fx0-2△x2△x =1im\s\do4(△x→0)fx0-2△x+2△X-fx0-2△x2△x =(xo),A项满足题意： 1im\s\do4(△x→0)fx0+△x-fx0-△x△x =21imls\do4(△x→0)fx0-△x+2△x-fx0-△x2△x =2f(xo),B项不满足题意； 1im\s\do4(△x→0)fx0+2△x-fx0+△x△x=(o),C项满 足题意： 1imls\do4(△x→0)fx0+△x-fx0-2△x△x =31im叭s\do4(△x→0)fx0-2△x+3△x-fx0-2△x3△x =3f(xo),D项不满足题意.故选AC项」 13.(多选)已知函数x)在x=1处的导数为2，则x)的解析式可能为() A.fx)=x-1)2+1 B.x)=2(x-1) C.fx)=2\avs4\al\co1(x-\f(12))2 D.fx)=x2\a\vs4\al\col(\f(52)-x) 答案BCD 解析因为x)=(x一1)2+1，所以(x)=2(x一1)，则f(1)=0,故A项 错误；因为)=2x一1)，所以f(x)=2,则(1)=2，故B项正确；因为f (x)=2\a\vs4\al\col(x-\f(12))2,f(x)=4\alvs4\al\col(x-\ f(12)),则(1)=2，故C项正确：因为x)=x2\a\vs4\al\co1(f(52)-x), 所以f(x)=2x1a\vs4al\co1(f(52)-x)-x2=-3x2+5x,则(1)=2，故D 项正确.故选BCD项， 14.点P在函数y=ex的图象上，若满足到直线y=x十a的距离为2的点P 有且仅有3个，则实数a的值为 解析过函数y=e的图象上的点P(xo,yo)作切线，使得此切线与直线y=x +a平行，又y'=e,于是e'o=1,则xo=0,yo=1,所以P(0,1),因为当点P ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 到直线y=x十a的距离为2时，满足到直线y=x十a的距离为2的点P有且仅有 3个，所以d=|1-a\r(1+1)=2,解得a=一1或a=3.又当a=一1时，函数 y=c的图象与直线y=x一1没有交点，所以不满足，故a=3 答案3 拓展探究‖ 15.如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8cm,上口宽6cm, 若以20cm3s的速度匀速往杯中注水，当水深为4cm时，酒杯中水升高的瞬时 变化率v= cm/s 解析设t时刻水的深度为hcm,水面半径为rcm,则hr=83,则r=38h, 当水深为4cm时，酒杯中水面的半径为32cm,此时水的体积为V=13π×、 a\vs4\al\co1(f(32)2×4=3元，由题意可得20t=3元，解得1=3π20s.由题意 可得20t=13元r2h=13π×\a\vs4\a1\co1(f(38)h)2×h=364π3，所以h=\ 3) a\vs4alco1(f1280t3π)，则h'=13×\avs4a1\co1(f(12803π) 3》,3》,当1=3x20时，为=13×avs4a1eo10f1203元》”×1 3) a\s4\al\co1(\f(20))-3) =809r(cm/s). 答案809元 16.己知曲线S:y=3x-x3及点P(2,2). (1)求过点P的切线方程： (2)求证：与曲线S切于点(xo,o)xo≠0)的切线与S至少有两个交点， 解析(1)设切点为(xo,o),则%=3x0一x30,得切线的斜率为k=y0一2x0-2. 又因为y'=3一3x2,所以切线的斜率为k=3一3x20, 所以y0一2x0一2=3-3x20,整理得3x0-一x30-2=(x0-2)(3-3x20) 所以(0-1)[(x0一12-3]=0，解得x=1或x0=1土3. ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 当x0=1时，k=0,切线方程为y一2=0(x一2)，即y=2: 当0=1十3时，k=一9-63，切线方程为y一2=(-9一63)(x一2)，即y (-9-63)x+20+123. 当x0=1一3时，k=一9+63，切线方程为y一2=（一9+63）x一2)，即y= (-9+63)x+20-123: 所以切线方程为y=2或y=(-9-63)x+20+123或y=(-9+63)x+20一 123. (2)由题意知，曲线S切于点(xo,yo)o≠0)的切线斜率为k=3-一3x20, 则切线方程为y一y%=(3一3x20)x一xo) 联立方程y一y0=口3一3 xolal(2y=3x-x3,消去y, 得3x-x3-yo=3(1-x20)x一xo) 整理得(x一xo)(x十2o)=0,解得x=xo或x=一2x0, 所以与曲线S切于点(xo,y0)xo≠0)的切线与S至少有两个交点. ·独家授权侵权必究·