培优训练(二)(范围：4.2～4.3)（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

(范围：4.2～4.3) 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝4，若a1，a2＋2，a3成等差数列，则{an}的公比为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，由题意可得2(a2＋2)＝a1＋a3，即2a2＋a1＋a2＝a1＋a3，则a3＝3a2，故q＝＝3.故选B项． 2．已知等差数列{an}，Sn是其前n项和，若S10＝a10＝10，则(　　) A．a5＝2 B．a5＝－2 C．S5＝18 D．S5＝－20 答案　D 解析　设数列{an}的公差为d，由题意可得解得所以a5＝a1＋4d＝－8＋4×2＝0，S5＝5a1＋d＝5×(－8)＋10×2＝－20.故选D项． 3．已知等比数列{an}的各项均为负数，若a2a8＋2a3a9＋a＝16，则a5＋a7＝(　　) A．－2 B．－4 C．－8 D．－16 答案　B 解析　由等比数列的性质知a2a8＝a，a3a9＝a5a7，所以a2a8＋2a3a9＋a＝a＋2a5a7＋a＝(a5＋a7)2＝16，由于等比数列{an}的各项均为负数，所以a5＋a7＝－4.故选B项． 4．(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则下列结论中，正确的是(　　) A．{an}是等比数列 B．{Sn}是等比数列 C．an＝3n－1 D．Sn＝3n－1 答案　BD 解析　由an＋1＝2Sn，得当n≥2时，有an＝2Sn－1，两式相减得an＋1＝3an，又a1＝1，a2＝2S1＝2a1＝2，所以数列{an}不是等比数列，故A，C项错误；由2Sn＝an＋1＝Sn＋1－Sn，得Sn＋1＝3Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，所以Sn＝1×3n－1＝3n－1，故B，D项正确．故选BD项． 5．(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，d<0，则(　　) A．数列{an}单调递减 B．数列{an}没有最小项 C．数列{Sn}单调递减 D．数列{Sn}有最大项 答案　ABD 解析　数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，由于d<0，故数列{an}为单调递减数列，且数列{an}为无穷等差数列，故数列{an}没有最小项，故A项正确，B项正确；又Sn＝n2＋n，<0，二次函数开口向下，对称轴为n＝>0，故数列{Sn}有最大项，没有最小项，故D项正确；因为n＝＝＋>0，无法判断a1与－d的大小，即n的取值，故无法判断数列{Sn}的增减性，故C项错误．故选ABD项． 二、填空题 6．习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励外出人员返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”，帮扶返乡创业人员．五年内，预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成数列{an}(单位：万元)，且第一年投入“创业资金”3万元，以后每年投入的“创业资金”为上一年的2倍，则该镇政府帮扶五年累计总投入的“创业资金”为______万元． 解析　由题意可知，数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，所以S5＝＝93. 答案　93 7．成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3,6,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5，则数列{bn}的通项公式为______. 解析　设成等差数列的三个正数为a－d，a，a＋d，即有3a＝6，解得a＝2，由题意可得5－d,8,15＋d成等比数列，即有(5－d)(15＋d)＝64，解得d＝1(d＝－11舍去)，所以等比数列{bn}的公比为2，则数列{bn}的通项公式为bn＝b3·2n－3＝4·2n－3＝2n－1. 答案　bn＝2n－1 8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋2a2＝0，S3＝，且a≤Sn≤a＋2，则实数a的取值范围是________. 解析　设等比数列{an}的公比为q，由a1＋2a2＝0，S3＝，得解得所以Sn＝＝.当n＝1时，n最小，则Sn最大为1；当n＝2时，n最大，则Sn最小为，所以≤Sn≤1.因为a≤Sn≤a＋2，所以解得－1≤a≤.故实数a的取值范围是. 答案　 三、解答题 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S5＝25. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1， 由题意得解得 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)bn＝an＋2n－1＝2n－1＋2n－1， 所以Tn＝＋＝n2＋2n－1. 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)由4Sn＋1＝3Sn－9，得4Sn＝3Sn－1－9(n≥2)， 两式相减得4an＋1＝3an，即＝， 因为a1＝－，4(a1＋a2)＝3a1－9， 所以a2＝－，所以＝， 所以数列{an}是以－为首项，以为公比的等比数列， 所以an＝·n－1＝－3·n(n∈N*)． (2)由(1)知bn＝(n－4)·n， 所以Tn＝－3·－2·2－1·3＋…＋(n－4)·n， 则Tn＝－3·2－2·3－1·4＋…＋(n－4)·n＋1， 两式相减得Tn＝－3·＋2＋3＋…－(n－4)·n＋1 ＝－＋－(n－4)·n＋1 ＝－＋－4·n＋1－(n－4)·n＋1 ＝－n·n＋1， 所以Tn＝－4n·n＋1. 11．在等差数列{an}中，a1＝－2 025，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 025＝(　　) A．2 025 B．－2 025 C．－2 024 D．2 024 答案　B 解析　因为数列{an}为等差数列，故Sn＝，则＝，当n≥2时，＝，则－＝－＝，所以数列为等差数列，设其公差为d.又－＝2d＝2，即d＝1，又＝a1＝－2 025，所以＝－2 025＋(n－1)＝－2 026＋n，所以＝－2 026＋2 025＝－1，即S2 025＝－2 025.故选B项． 12．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是(　　) A．数列{an}是公差为2的等差数列 B．满足Sn<100的n的最大值是9 C．Sn除以4的余数只能为0或1 D．2Sn＝nan 答案　ABC 解析　令bn＝，由nan＋1－(n＋1)an＝1可知，－＝＝－，所以bn＋1－bn＝－，累加可得bn＝2－，所以an＝2n－1(n≥2)，检验a1＝1满足，所以an＝2n－1(n∈N*)，所以数列{an}是公差为2的等差数列，故A项正确；由等差数列的前n项和公式得Sn＝＝n2，故Sn＝n2<100，解得n<10，故满足Sn<100的n的最大值是9，故B项正确；当n＝2k－1，k∈N*时，Sn＝n2＝4k2－4k＋1，此时Sn除以4的余数只能是1，当n＝2k，k∈N*时，Sn＝n2＝4k2，此时Sn除以4的余数只能是0，故C项正确；2Sn＝2n2，nan＝n(2n－1)＝2n2－n，显然2Sn≠nan，故D项错误．故选ABC项． 13．已知数列{an}满足1＋＋＋…＋＝2n，则a1＋a2＋…＋an＝________. 解析　由1＋＋＋…＋＝2n　①，可得1＋＋＋…＋＝2n－1　②，两式相减得＝2n－1，所以an＝(2n＋1)2n－1，经检验符合要求．令Sn＝a1＋a2＋…＋an，则Sn＝3＋5×2＋7×22＋9×23＋…＋(2n＋1)·2n－1　③，2Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋9×24＋…＋(2n＋1)2n　④，③－④得－Sn＝3＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n＋1)2n＝3＋－(2n＋1)2n＝－1＋(1－2n)·2n，所以Sn＝(2n－1)·2n＋1. 答案　(2n－1)·2n＋1 14．给出以下三个条件：①4a1,3a2,2a3成等差数列；②对于∀n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝2x＋1－a的图象上，其中a为常数；③S3＝14.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设{an}是一个公比为q(q>0，q≠1)的等比数列，且它的首项a1＝2，________. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝2log2an－1(n∈N*)，证明：数列的前n项和Tn<. 解析　(1)若选择条件①：由4a1,3a2,2a3成等差数列，得6a2＝4a1＋2a3，即6a1q＝4a1＋2a1q2，又a1＝2，所以12q＝8＋4q2，解得q＝2或q＝1(舍去)，故an＝2×2n－1＝2n. 若选择条件②：由题意得Sn＝2n＋1－a，因为a1＝S1＝4－a＝2，所以a＝2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n，检验可知，当n＝1时，a1＝2满足上式， 所以an＝2n. 若选择条件③：由S3＝14，得a1＋a2＋a3＝14，又a1＝2，所以2＋2q＋2q2＝14，解得q＝2或q＝－3(舍去)，所以an＝2n. (2)证明：由(1)可知bn＝2log2an－1＝2log22n－1＝2n－1， 则＝＝， 所以Tn＝＝， 因为n∈N*，所以1－<1，故Tn<. 15．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形的面积之和为S1；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形的面积之和为S2；……操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若S1＋S2＋…＋Sn≥，则操作次数n的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　由题意得，S1是边长为的4个正方形的面积之和，故S1＝×4＝；S2是边长为2的42个正方形的面积之和，故S2＝2×42＝2；以此类推得，Sn＝n×4n＝n，从而S1＋S2＋…＋Sn＝＋2＋…＋n＝＝≥，所以≤，又函数f(x)＝x单调递减，且当n＝2时，＝>，当n＝3时，＝<，故n的最小值为3.故选C项． 16．已知数列{an}满足＝an＋1(n∈N*)，a1＝1. (1)证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)若记bn为满足不等式n<ak≤n－1(n∈N*)的正整数k的个数，数列{bn}的前n项和为Sn，求关于n的不等式Sn>985的最小正整数解． 解析　(1)因为＝an＋1(n∈N*)， 则an＋1＝， 等式an＋1＝两边取倒数可得＝＝＋，所以－＝， 因为＝1，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 所以＝1＋＝，因此an＝. (2)由n<ak≤n－1(n∈N*)，可得n<≤n－1，可得2n－1≤<2n， 即2n≤k＋1<2n＋1，即2n－1≤k<2n＋1－1， 所以满足不等式2n－1≤k<2n＋1－1(n∈N*)的整数k的个数为(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n， 故bn＝2n，则＝＝2，所以数列{bn}为等比数列，且首项为2，公比也为2， 所以Sn＝＝2n＋1－2，由Sn>985可得2n＋1>987， 因为29＝512<987<210＝1 024，所以n＋1≥10，解得n≥9. 因此满足不等式Sn>985的最小正整数解为n＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $$