5.3.1 函数的单调性 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　) A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 答案　D 解析　函数的定义域为(0，＋∞)，求导函数，可得f′(x)＝1＋ln x，令f′(x)＝1＋ln x＝0，可得x＝，所以0＜x＜时，f′(x)＜0；x＞时，f′(x)＞0.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．故选D项． 2．已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(　　) A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－2，－1)∪(1,2) 答案　C 解析　由图象知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f′(x)>0.故选C项． 3．已知函数f(x)＝2x－ln|x|，则f(x)的大致图象为(　　) 　　　　　 　　　　　 答案　A 解析　当x＜0时，f(x)＝2x－ln(－x)，f′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以B，D项错误；当x＞0时，f(x)＝2x－ln x，f′(x)＝2－＝，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以A项正确，C项错误．故选A项． 4．函数f(x)＝x3＋kx2－7x在区间[－1,1]上单调递减，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,2] C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　B 解析　因为f(x)＝x3＋kx2－7x，所以f′(x)＝3x2＋2kx－7，由题意可知，不等式f′(x)≤0对于任意的x∈[－1，1]恒成立，所以解得－2≤k≤2.因此实数k的取值范围是[－2,2]．故选B项． 5．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 答案　B 解析　由题意可设g(x)＝f(x)－2x－4，所以g′(x)＝f′(x)－2＞0，所以函数g(x)在R上单调递增，又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，所以要使g(x)＝f(x)－2x－4＞0，即g(x)＞g(－1)，所以x＞－1.故选B项． 二、填空题 6．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调递减区间是________. 解析　f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.故函数f(x)的单调递减区间是(1,2)． 答案　(1,2) 7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是________. 解析　由题意可得 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，所以Δ＝4a2－12≤0，即－≤a≤.所以实数a的取值范围是[－，]． 答案　[－，] 8．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________. 解析　因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝4x－，所以由f′(x)＝0，得x＝.当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.据题意得，0≤k－1＜＜k＋1，解得1≤k＜.故实数k的取值范围是. 答案　 三、解答题 9．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． (1)求实数a，b的值； (2)判断函数f(x)在上的单调性． 解析　(1)f′(x)＝－2bx，由题意得解得 (2)由(1)可知f(x)＝ln x－x2，所以f′(x)＝－x＝－，所以当x∈时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间[1，e]上单调递减． 10．设函数f(x)＝ex－ax－2，讨论f(x)的单调性． 解析　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 11.(多选)若函数y＝exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的函数为(　　) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2 答案　AD 解析　A项中，exf(x)＝ex·2－x＝x在R上单调递增，故f(x)＝2－x具有M性质；B项中，exf(x)＝ex·3－x＝x在R上单调递减，故f(x)＝3－x不具有M性质；C项中，exf(x)＝ex·x3，令g(x)＝ex·x3，则g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，所以当x＞－3时，g′(x)＞0，当x＜－3时，g′(x)＜0，所以exf(x)＝ex·x3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f(x)＝x3不具有M性质；D项中，exf(x)＝ex(x2＋2)，令g(x)＝ex(x2＋2)，则g′(x)＝ex(x2＋2)＋ex·2x＝ex[(x＋1)2＋1]＞0，所以exf(x)＝ex(x2＋2)在R上单调递增，故f(x)＝x2＋2具有M性质．故选AD项． 12．(多选)下列命题正确的是(　　) A.＞ln 2 B.ln 2＜ln C．ln 2＜ D．2＞5 答案　ABC 解析　由题意可构造函数f(x)＝(x>0)，其导函数为f′(x)＝，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．因为32＞23，且y＝ln x在定义域上单调递增，所以ln 32＞ln 23，所以2ln 3＞3ln 2，所以＞ln 2，故A项正确；因为e＞＞2，所以f＞f(2)，所以＞，即ln＞ln 2，故B项正确；因为f(2)＜f(e)＝，所以＜，即ln 2＜，故C项正确；因为e＞＞2，所以f()＞f(2)，所以＞，所以2ln＞ln 2，所以ln()2＞ln ，所以5＞，故D项错误．故选ABC项． 13．已知函数f(x)＝＋aln x＋x，且曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝－2x＋2平行，则a＝________，函数的单调递增区间是________. 解析　函数f(x)＝＋aln x＋x的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝－＋＋1＝，由题知f′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1，此时f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－1(舍)，所以当x>2时，f′(x)＞0，即函数y＝f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)． 答案　－1　(2，＋∞) 14．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________. 解析　若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.故b的取值范围是(0，＋∞)． 答案　(0，＋∞) 15．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围． 解析　(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线， 且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，可得解得所以h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，所以f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2. (2)因为f′(x)＝＋2x－8＝(x＞0)，所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(1,3)．要使函数f(x)在区间上是单调函数，则解得＜m≤.故实数m的取值范围为. 16．已知函数f(x)＝ax2＋2x－ln x. (1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围． 解析　(1)当a＝3时，f(x)＝x2＋2x－ln x，其定义域为(0，＋∞)．所以f′(x)＝3x＋2－＝.令f′(x)＜0，得0＜x＜，令f′(x)＞0，得x＞，所以函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)因为f(x)＝ax2＋2x－ln x的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ax＋2－＝.若函数f(x)存在单调递增区间，则f′(x)＞0在区间(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1＞0在区间(0，＋∞)上有解．分离参数得a＞，令g(x)＝，则依题意，只需a＞g(x)min即可．因为g(x)＝＝2－1，所以g(x)min＝－1，所以a＞－1，即所求实数a的取值范围为(－1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$