5.2.3 简单复合函数的导数 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案　A 解析　由复合函数的概念可知y＝un，u＝x2－1.故选A项． 2．函数y＝(2 025－8x)3的导数y′＝(　　) A．3(2 025－8x)2 B．－24x C．－24(2 025－8x)2 D．24(2 025－8x)2 答案　C 解析　y′＝3(2 025－8x)2×(2 025－8x)′＝3(2 025－8x)2×(－8)＝－24(2 025－8x)2.故选C项． 3．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝2xcos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 答案　B 解析　y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.故选B项． 4．若f(x)＝exln 2x，则f′(x)＝(　　) A．exln 2x＋ B．exln 2x－ C．exln 2x＋ D．2ex· 答案　C 解析　f′(x)＝exln 2x＋ex×＝exln 2x＋.故选C项． 5．若函数f(x)＝2ln 3x＋8x，则 的值为(　　) A．10 B．－10 C．－20 D．20 答案　C 解析　因为f(x)＝2ln 3x＋8x，所以f′(x)＝＋8＝8＋.故 ＝－2 ＝－2f′(1)＝－20.故选C项． 二、填空题 6．已知f(x)＝，则f′＝________. 解析　由题意得f′(x)＝，故f′＝＝2＋ln 2. 答案　2＋ln 2 7．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝xln x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为________. 解析　当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝－xln(－x)＋1，所以f(－1)＝1，f′(x)＝－ln(－x)－1，所以f′(－1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x. 答案　y＝－x 8．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)在x＝e处的导数为，则f′(1) ＝________. 解析　设g(x)＝f(ln x)，由复合函数的求导法则可得g′(x)＝f′(ln x)．由题意可得g′(e)＝f′(1)＝，解得f′(1)＝. 答案　 三、解答题 9．曲线y＝esin x 在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程． 解析　因为y＝esin x，所以y′＝esin xcos x，所以y′|x＝0＝1.所以曲线y＝esin x在(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0.由＝得m＝－1或3.所以直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0. 10．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′. (2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程． 解析　(1)因为f(x)＝eπxsin πx，所以f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx＝πeπx(sin πx＋cos πx)，所以f′＝πe·＝πe. (2)设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可得y′＝，所以y′|x＝x0＝＝0，解得x0＝0，此时y0＝1，即该点的坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0. 11．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x 答案　ACD 解析　对于A项，y＝cos，则y′＝·sin，故错误；对于B项，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；对于C项，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D项，y＝xsin 2x，则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误．故选ACD项． 12．(多选)直线y＝x＋b能作为下列哪个函数的图象的切线(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x4 C．f(x)＝sin D．f(x)＝ex 答案　BCD 解析　由f(x)＝，得f′(x)＝－＝，无解，故A项排除；由f(x)＝x4，得f′(x)＝4x3＝，故x＝，即曲线在点处的切线为y＝x－，故B项正确；由f(x)＝sin ，得f′(x)＝cos ＝，取x＝4kπ，k∈Z，当k＝0时，x＝0，故曲线在点(0,0)处的切线为y＝x，故C项正确；由f(x)＝ex，得f′(x)＝ex＝，故x＝－ln 2，曲线在点处的切线为y＝x＋ln 2＋，故D项正确．故选BCD项． 13．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f′＝，则φ＝________；若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________. 解析　由题意可得 f′(x)＝－sin(x＋φ)，所以f′＝－sin(π＋φ)＝sin φ＝，所以sin φ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝或.所以f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－·sin(x＋φ)＝2sin.若f(x)＋f′(x)是奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，所以φ＋＝kπ(k∈Z)．又因为φ∈(0，π)，所以φ＝. 答案　或　 14．设P是曲线y＝x－x2－ln x上的一个动点，记此曲线在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是__________. 解析　由y＝x－x2－ln x，得y′＝1－x－(x＞0)，因为1－x－＝1－≤1－2＝－1，当且仅当x＝1时，等号成立，所以y′≤－1，即曲线在点P处的切线的斜率小于或等于－1，所以tan θ≤－1，又θ∈[0，π)，所以θ的取值范围是. 答案　 15．设函数f(x)＝aexln x＋. (1)求导函数f′(x)； (2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值． 解析　(1)由f(x)＝aexln x＋，得f′(x)＝(aexln x)′＋′＝aexln x＋＋. (2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，所以b＝2.将x＝1代入导函数f′(x)中，得f′(1)＝ae＝e，所以a＝1. 16．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y＝s(t)＝5－.求函数在t＝时的导数，并解释它的实际意义． 解析　函数y＝5－可以看作函数f(x)＝5－和x＝φ(t)＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．由导数公式表可得f′(x)＝－x－，φ′(t)＝－18t.再由复合函数的求导法则可得y′t＝s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝·(－18t)＝，将t＝代入s′(t)，得s′＝0.875(m/s)．它表示当t＝时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $$