4.3.2.2 等比数列前n项和的性质及应用 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．在等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q＝(　　) A．2 B． C．4 D． 答案　C 解析　因为a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，所以a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，所以q＝＝4.故选C项． 2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝(　　) A．1 B．0 C．1或0 D．－1 答案　A 解析　因为Sn－Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)，且{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1(n≥2且n∈N*)．故选A项． 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　) A. B．－ C. D． 答案　A 解析　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝.故选A项． 4．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　) A．300米 B．299米 C．199米 D．166米 答案　A 解析　小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋25＋…＋100×8＝299≈300(米)．故选A项． 5．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20＝(　　) A．90 B．70 C．40 D．30 答案　C 解析　由S30＝13S10，知q≠1，由得由等比数列的前n项和的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍去)．故选C项． 二、填空题 6．等比数列{an}共有2n项，它的各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________. 解析　设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，当q＝1时，S奇＝na1，S2n＝2na1，则S2n＝2S奇，不合题意，舍去，所以S2n＝，S奇＝＝.由题意得＝，所以1＋q＝3，所以q＝2. 答案　2 7．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________. 解析　令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和的性质知＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80. 答案　80 8．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度________(填“能”或“不能”)超过125 m. 解析　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意得an＋1＝an，因此数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝＝125×＜125.故这个热气球上升的高度不能超过125 m. 答案　不能 三、解答题 9．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式． 解析　设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝＝.又a1·a1q·a1q2＝64，所以a·q3＝64，得a1＝12.故所求通项公式为an＝12×n－1. 10．已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，a1，a7，a4成等差数列．求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列． 证明　设等比数列{an}的公比为q，由题意得2a7＝a1＋a4，即2a1·q6＝a1＋a1·q3，所以2q6－q3－1＝0.令q3＝t，则2t2－t－1＝0，所以t＝－或t＝1，即q3＝－或q3＝1.当q3＝1时，2S3＝6a1，S6＝6a1，S12－S6＝6a1，所以S＝2S3·(S12－S6)，所以2S3，S6，S12－S6成等比数列．当q3＝－时，2S3＝2×＝＝，S6＝＝，S12－S6＝＝＝，所以S＝2S3·(S12－S6)，所以2S3，S6，S12－S6成等比数列．综上可知，2S3，S6，S12－S6成等比数列． 11．(多选)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是(　　) A.＝＋1 B．若＝9，则q＝2 C．若＝9，＝，则m＝3，q＝2 D．若＝9，则q＝3 答案　ABC 解析　A项中，因为q≠1，所以＝＝1＋qm，而＝＝qm，所以A项正确；B项中，m＝3，所以＝q3＋1＝9，解得q＝2，所以B项正确；C项中，由＝1＋qm＝9，得qm＝8，又＝qm＝8＝，得m＝3，q＝2，所以C项正确；D项中，＝q3＝9，所以q＝≠3，所以D项错误．故选ABC项． 12．(多选)等比数列{an}的公比q>1，其中第17项的平方等于第24项，则可以使a1＋a2＋…＋an>＋＋…＋成立的自然数n可能为(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 答案　CD 解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，依题意得(a1q16)2＝a1q23，所以a10＝a1q9＝1.因为{an}为等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以原不等式成立只需>，把a1＝q－9代入整理，得q－18(qn－1)>q，所以qn>q19，所以n>19.因为n∈N*，所以四个选项中满足题意的n＝20或n＝21.故选CD项． 13．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的第n项为an，前n项和为Sn，则an＝________，Sn＝________. 解析　因为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2. 答案　2n－1　2n＋1－n－2 14．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 解析　令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，又an＝f(n)，所以＝＝f(1)＝a1＝，所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，所以前n项和Sn＝＝1－. 答案　1－ 15．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝________；令该数列的前n项积为Tn，则Tn的最大值为________. 解析　设数列{an}共有2m＋1项，由题意得S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)＝2＋q＝，所以q＝.所以Tn＝a1·a2·…·an＝aq1＋2＋…＋n－1＝，故当n＝1或2时，Tn取最大值，最大值为2. 答案　　2 16．设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通项公式an； (2)求数列{|an－n－2|}的前n项和． 解析　(1)由题意得解得又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，故数列{an}是以1为首项、3为公比的等比数列，所以an＝3n－1(n≥2，n∈N*)，又当n＝1时也满足an＝3n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*. (2)由题意和(1)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.当n≥3时，3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.当n≥3时，Tn＝3＋－＝.当n＝2时，T2也适合上式， 所以Tn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$