4.3.2.1 等比数列的前n项和公式 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100＝(　　) A．4－2100 B．4＋2100 C．4－2－98 D．4－2－100 答案　C 解析　q＝＝，S100＝＝＝4×(1－2－100)＝4－2－98.故选C项． 2．已知在等比数列{an}中，an＝2×3n－1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为(　　) A．3n－1 B．3(3n－1) C. D． 答案　D 解析　因为an＝2×3n－1，所以数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，9为公比的等比数列，则新数列的前n项和为Sn＝＝.故选D项． 3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　) A．11 B．5 C．－8 D．－11 答案　D 解析　由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，因为a1≠0，q≠0，所以q＝－2，则＝＝＝－11.故选D项． 4．已知在等比数列中，a4＝3a3，则＋＋＋…＋＝(　　) A. B． C. D． 答案　D 解析　设等比数列{an}的公比为q，因为a4＝3a3，所以q＝3，所以＋＋＋…＋＝q＋q2＋q3＋…＋qn＝＝＝.故选D项． 5．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝(　　) A．－2 B．－1 C. D． 答案　B 解析　由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.故选B项． 二、填空题 6．河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一．某洞窟的浮雕共8层，它们构成一幅优美的图案，各层浮雕数成等比数列，第二层浮雕数为6，第5层浮雕数为48，则这8层浮雕的总数为________. 解析　设从上到下第n(n∈N*,1≤n≤8)层的浮雕数为an，公比为q，由题意可知，解得所以S8＝＝＝765，即这8层浮雕的总数为765. 答案　765 7．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________，a1＝________. 解析　由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得解得 答案　5　3 8．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则数列{an}的前n项和为________. 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)．由已知条件可得所以解②得q＝3或q＝1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不符合题意，应舍去．故公比q＝3，首项a1＝1.所以数列{an}的前n项和Sn＝＝＝(n∈N*)． 答案　(n∈N*) 三、解答题 9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列． (1)求数列{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 解析　(1)由题意有S1＋S2＝2S3，即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－. (2)由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4. 从而Sn＝＝. 10．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析　(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，所以a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝(n≥2)，两式相减得3n－1an＝－＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝也满足上式，故an＝(n∈N*)． (2)由(1)可得bn＝＝n·3n，所以Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n　①，①×3得3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1　②，由①－②得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，即－2Sn＝－n·3n＋1， 所以Sn＝·3n＋1＋(n∈N*)． 11．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0，则下列结论正确的是(　　) A．0<q<1 B．a7a9<1 C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7 答案　ABC 解析　因为a1>1，a7a8>1，<0，所以a7>1,0<a8<1，所以0<q<1，故A项正确；又a7a9＝a<1，故B项正确；因为0<q<1，a7>1,0<a8<1，所以T7是数列{Tn}中的最大项，故C项正确；因为a7>1,0<a8<1，所以Sn的最大值不是S7，故D项不正确．故选ABC项． 12．(多选)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则下列说法正确的是(　　) A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形的面积为 B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形的面积为 C．n个内切圆的面积和为π D．n个内切圆的面积和为3π 答案　BC 解析　S△ABC＝×32＝，因为下一个三角形的面积依次为上一个正三角形的面积的倍，所以第三个正三角形的面积为×2＝，故A项错误，B项正确；又根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，……，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π，故C项正确，D项错误．故选BC项． 13．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝______，S5＝______. 解析　由于解得由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121. 答案　1　121 14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2＝6，S6＝66，则数列{2an}的前n项和为________. 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由得解得所以an＝4n－3，所以2an＝24n－3＝2×16n－1，所以{2an}是以2为首项，16为公比的等比数列，所以数列{2an}的前n项和为＝(16n－1)． 答案　(16n－1) 15．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．________天后两鼠相遇．如果墙足够厚，设前n天两只老鼠的打洞长度之和为Sn尺，则Sn＝________. 解析　由题意先估计：两天不够，三天又多，设需要x天，则可得1＋2＋4(x－2)＋1＋＋(x－2)＝5，解得x＝2，即2天两只老鼠相遇．由题意可知，大老鼠前n天的打洞长度为＝2n－1(尺)，小老鼠前n天的打洞长度为＝2－n－1(尺)，所以Sn＝2n－1＋2－n－1＝2n－n－1＋1. 答案　2　 2n－n－1＋1 16．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得 故数列{an}的通项公式为an＝2－n，n∈N*. (2)设数列的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋　 ①，＝＋＋…＋＋　②，所以当n>1时，①－②得＝a1＋＋…＋－＝1－－＝1－－＝.所以Sn＝，当n＝1时也成立．综上所述，数列的前n项和Sn＝，n∈N*. 学科网（北京）股份有限公司 $$