4.3.1.2 等比数列的性质 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．若等比数列{an}的公比q＝，a1＝，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 答案　B 解析　因为等比数列{an}的公比q＝，a1＝，故an>0，且an逐渐减小，所以数列{an}是递减数列．故选B项． 2．某工厂生产总值连续两年的年增长率依次是p，q，则这两年的年平均增长率是(　　) A. B．qp C.－1 D.－1 答案　C 解析　设这两年的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)·(1＋q)，所以x＝－1.故选C项． 3．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为(　　) A. B．3 C．± D．±3 答案　B 解析　设等差数列为{an}，公差为d，d≠0，则a＝a2·a6，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，化简得d2＝－2a1d，因为d≠0，所以d＝－2a1，所以a2＝－a1，a3＝－3a1，所以q＝＝3.故选B项． 4．公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　因为a3a11＝16，所以a＝16.又因为an>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝25，即log2a16＝5.故选B项． 5．(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是(　　) A．{a}是等比数列 B．{anan＋1}是等比数列 C.是等比数列 D．{lg|an|}是等比数列 答案　ABC 解析　由{an}是等比数列可得＝q(q为常数)．A项中，＝2＝q2为常数，故A项正确；B项中，＝＝q2为常数，故B项正确；C项中，＝＝为常数，故C项正确；D项中，不一定为常数，故D项错误．故选ABC项． 二、填空题 6．已知数列{an}是等比数列，且an>0，a3a5＋2a4a6＋a5a7＝81，则a4＋a6＝__________. 解析　因为数列{an}是等比数列，且a3a5＋2a4a6＋a5a7＝81，所以a＋2a4a6＋a＝81，所以(a4＋a6)2＝81，又an>0，所以a4＋a6＝9. 答案　9 7．三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数所构成的等比数列是______. 解析　设这三个数所成等比数列中的项依次为，a，aq，则＋a＋aq＝14，·a·aq＝64，即a＝14，a3＝64，解得a＝4，q＝或q＝2.故这三个数所构成的等比数列为8,4,2或2,4,8. 答案　8,4,2或2,4,8 8．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的数量为____________. 解析　设第n天蜂巢中蜜蜂的数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6n－1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46 656(只)蜜蜂． 答案　46 656 三、解答题 9．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这个等比数列． 解析　设这三个数所成等比数列中的项依次为，a，aq.由题意可知即得9q4－82q2＋9＝0，解得q2＝或q2＝9.所以q＝±或q＝±3.故这个等比数列为1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1. 10．在等比数列{an}中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an. 解析　(1)证明：由题意可得bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q(q>0)为常数，所以数列{bn}是等差数列且公差d＝log2q. (2)因为{bn}为等差数列，b1＋b3＋b5＝6，所以3b3＝6，即b3＝2.又因为a1>1，所以b1＝log2a1>0，又因为b1b3b5＝0，所以b5＝0，即所以解得因此Sn＝4n＋×(－1)＝.又因为d＝log2q＝－1，b1＝log2a1＝4，所以q＝，a1＝16，所以an＝25－n(n∈N*)． 11．已知数列{an}满足an≠0，则“a1a4＝a2a3”是“{an}是等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　如果a1＝1，a2＝2，a3＝8，a4＝16，满足a1a4＝a2a3，但{an}不是等比数列；反之，若{an}是等比数列，则根据等比数列的性质可知a1a4＝a2a3，所以“a1a4＝a2a3”是“{an}是等比数列”的必要不充分条件．故选C项． 12．(多选)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 024积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的值可能为(　　) A．1 009 B．1 010 C．1 011 D．1 012 答案　CD 解析　由题意可知a1a2a3…a2 024＝a2 024，故a1a2a3·…·a2 023＝1，由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，所以a1 012＝1，公比0＜q＜1，所以a 1 011＞1且0＜a1 013＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时，n的值为1 011或1 012.故选CD项． 13．在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝_________. 解析　因为{an}是等比数列，所以a7·a11＝a4·a14＝6，又a4＋a14＝5，所以或因为＝q10，所以q10＝或q10＝.而＝q10，所以＝或. 答案　或 14．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为__________. 解析　设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，所以＋28＋28q＝98，所以q＝2或.由题意知0<q<1，所以q＝. 答案　 15．各项互不相等的等比数列{an}满足a5·a7＝am·an，则＋的最小值为________. 解析　由题意知m＋n＝5＋7＝12，即＋＝1(m，n∈N*)，则＋＝＝＋＋≥＋2＝，当且仅当4m2＝n2时，等号成立，此时m＝4，n＝8，所以＋的最小值为. 答案　 16．黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色，黄河的水源来自青海高原，从源头开始1 000千米的河水是非常清澈的．只是在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，形成了一条奇特的水中分界线．设黄河和洮河在汛期的水流量均为2 000 m3/s，黄河水的含沙量为2 kg/m3，洮河水的含沙量为20 kg/m3，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换1 000 m3的水量，即从洮河流入黄河1 000 m3的水混合后，又从黄河流入1 000 m3的水到洮河再混合． (1)求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量； (2)从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m3(不考虑泥沙沉淀)? 解析　(1)在第二个观测点时，洮河流入黄河1 000 m3的水混合后，黄河的含沙量为＝8 kg/m3，又从黄河流入1 000 m3的水到洮河再混合后，洮河的含沙量为＝14 kg/m3. (2)设在第n个观测点时黄河的含沙量为an kg/m3，洮河的含沙量为bn kg/m3，由题意得a1＝2，b1＝20，且an＋1＝＝，bn＋1＝＝＝，所以bn＋1－an＋1＝(bn－an)，又b1－a1＝18≠0，所以{bn－an}是首项为18，公比为的等比数列，所以bn－an＝18×n－1.根据题意，有18×n－1＜0.01，即3n－1＞1 800，n∈N*，解得n＞7，所以从第8个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m3. 学科网（北京）股份有限公司 $$