4.3.1.1 等比数列的概念及简单表示 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　) A. B．－ C．2 D．－2 答案　A 解析　由题意可得a2＝a1q＝2　 ①，a5＝a1q4＝　②，由②÷①得q3＝，所以q＝.故选A项． 2．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝(　　) A．6 B．12 C．－6 D．－12 答案　AC 解析　由题意得a＝＝，b2＝－1×(－16)＝16，则b＝±4，所以ab＝±6.故选AC项． 3．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　) A．16 B．27 C．36 D．81 答案　B 解析　因为a1＋a2＝1，a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝9，所以q2＝9.所以q＝3(q＝－3舍去)，所以a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.故选B项． 4．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝(　　) A．4×n B．4×n C．4×n－1 D．4×n－1 答案　C 解析　由题意知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以＝＝.又a－1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为的等比数列，所以an＝4×n－1.故选C项． 5．已知在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案　C 解析　由题意得am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.又am＝a1qm－1＝qm－1，所以m－1＝10，所以m＝11.故选C项． 二、填空题 6．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________. 解析　由题意可知a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得q7＝128，所以q＝2. 答案　2 7．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________. 解析　因为a2，a3，a7成等比数列，所以a＝a2a7，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0　①.又因为2a1＋a2＝1，所以3a1＋d＝1　②.由①②解得a1＝，d＝－1. 答案　　－1 8．若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则通项公式an＝________. 解析　由题意得解得或所以an＝2或an＝－(－2)n－1. 答案　2或－(－2)n－1 三、解答题 9．设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列． 证明　因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1,2,3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列． 10．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)． (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析　(1)由已知条件可得a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.又因为a1－1＝－2，且＝＝＝3(n＝1,2,3，…)．所以数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知an－n＝－2×3n－1，所以an＝n－2×3n－1，n∈N*. 11．(多选)有下列四个命题，正确的是(　　) A．等比数列中的每一项都不可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 答案　AC 解析　对于A项，因为等比数列中的各项都不为0，所以A项正确；对于B项，因为等比数列的公比不为0，所以B项不正确；对于C项，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C项正确；对于D项，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D项不正确．故选AC项． 12．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝(　　) A．1＋ B．1＋2 C．3＋2 D．3＋ 答案　C 解析　由题意可得2×a3＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，整理得q2＝1＋2q，解得q＝1±，因为各项都是正数，所以q＞0，即q＝1＋.所以＝＝q2＝3＋2.故选C项． 13．已知数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，且数列{an－1}是等比数列，则λ的值为__________；若数列{an－1}的首项为2，则{an}的通项公式an＝__________. 解析　由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，解得λ＝2.因为首项为2，所以an－1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n＋1. 答案　2　2n＋1 14．设a，b，c是实数，3a,4b,5c成等比数列，且，，成等差数列，求＋的值． 解析　因为3a,4b,5c成等比数列，所以16b2＝15ac　①.因为，，成等差数列，所以＝＋　②.由①得·15ac＝64　③.把②代入③，得2·15ac＝64，所以·ac＝，所以＋＝. 15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示的形状排列，则从上到下第10行、从左到右的第11个数值为__________. 解析　由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8　①，由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1　②，由①②得a1＝2，d＝3，所以an＝3n－1.由题图可知，第1行1个数，第2行3个数，第3行5个数，第4行7个数，第5行9个数，所以第n行有2n－1个数，所以前9行个数的总数为1＋3＋5＋7＋…＋17＝81，所以第10行第11个数为数列{an}中的第92项，即a92＝3×92－1＝275. 答案　275 16．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3. (1)试用an表示an＋1； (2)求证：是等比数列； (3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式． 解析　(1)根据根与系数的关系，得代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，可得－＝3.所以an＋1＝an＋. (2)证明：由(1)可知an＋1＝an＋，所以an＋1－＝.若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0，可化为x2－x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以可得an≠，即an－≠0.所以数列是以为公比的等比数列． (3)当a1＝时，a1－＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以an－＝×n－1＝n，所以an＝＋n，n＝1,2,3，…， 所以数列{an}的通项公式为an＝＋n，n＝1,2,3，…. 学科网（北京）股份有限公司 $$