4.2.2.2 等差数列前n项和的最值和综合应用 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．若数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和最大时，n的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　B 解析　由题意知an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则可以得到所以即≤k≤.因为k∈N*，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.故选B项． 2．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 017＝S2 022，Sk＝S2 014，则正整数k为(　　) A．2 023 B．2 024 C．2 025 D．2 026 答案　C 解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 017＝S2 022，Sk＝S2 014，可得＝，解得k＝2 025.故选C项． 3．已知数列的前n项和Sn＝9，则n＝(　　) A．97 B．98 C．99 D．100 答案　C 解析　因为＝＝－，所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－，由Sn＝－1＝9，解得n＝99.故选C项． 4．成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载了很多数列问题，说明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究，从下面这首古民谣中可知一二：南山一棵竹， 竹尾风割断．剩下三十节，一节一个圈. 头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④. 一蚁往上爬，遇圈则绕圈. 爬到竹子顶，行程是多远？此民谣提出的问题的答案是(　　) (注：①五寸即0.5尺，②一尺三即1.3尺，③三分即0.03尺，④分三即一分三厘，等于0.013尺) A．72.705尺 B．61.395尺 C．61.905尺 D．73.995尺 答案　B 解析　由题意可得行程S＝[0.5＋(0.5＋0.03×1)＋(0.5＋0.03×2)＋…＋(0.5＋0.03×29)]＋[1.3＋(1.3－0.013×1)＋(1.3－0.013×2)＋…＋(1.3－0.013×29)]＝0.5×30＋×0.03＋1.3×30＋×(－0.013)＝61.395.故选B项． 5．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 答案　ABD 解析　因为S5<S6＝S7>S8，所以a6>0，a7＝0，a8<0，所以d<0，所以S6与S7均为Sn的最大值，故A，B，D项正确；S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0，所以S9<S5，故C项错误．故选ABD项． 二、填空题 6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为______. 解析　由解得所以a5＝a1＋4d＝0，所以S4＝S5且同时最大．所以n＝4或5. 答案　4或5 7．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为__________. 解析　由题意得a8>0，a9<0，所以解得－1<d<－，故d的取值范围为. 答案　 8．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为__________. 解析　钢管的排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个，所以钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.所以当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 答案　10 三、解答题 9．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值． 解析　(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，可以得到解得所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N*. (2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2＝－(n－5)2＋25，n∈N*，所以当n＝5时，Sn取得最大值． 10．已知数列{an}满足an＋1＋1＝，an≠－1，an≠－2且a1＝1. (1)求证：数列是等差数列，并求出数列{an}的通项公式； (2)令bn＝，求数列的前n项和Sn. 解析　(1)证明：因为an＋1＋1＝，an≠－1，an≠－2且a1＝1，所以＝，即＝，所以－＝1，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以＝＋(n－1)·1，所以＝，所以an＝. (2)由(1)知bn＝，所以＝＝2，所以Sn＝2＝2＝. 11．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n＝(　　) A．12 B．16 C．9 D．16或9 答案　C 解析　设等差数列为{an}，则an＝120°＋5°(n－1)＝5°n＋115°，an<180°，所以n<13，n∈N*，由n边形内角和定理得(n－2)×180°＝120°n＋×5°，解得n＝16或n＝9，又n<13，n∈N*，所以n＝9.故选C项． 12．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2 024＋a2 025>0，a2 024a2 025<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　) A．4 045 B．4 046 C．4 047 D．4 048 答案　D 解析　因为{an}是等差数列，首项a1>0，a2 024＋a2 025>0，a2 024a2 025<0，所以a2 024>0，a2 025<0，公差d<0.所以S4 048＝＝2 024(a2 024＋a2 025)>0，S4 049＝＝4 049a2 025<0.所以使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4 048.故选D项． 13．(多选)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，n∈N*，则下列说法正确的有(　　) A．数列是递增数列 B.＝ C.＝ D.＝ 答案　AB 解析　＝＝＝2－，所以是递增数列，A项正确；＝＝＝＝，所以＝＝，B项正确；＝＝，C项错误；当n＝1时，＝＝≠＝，D项错误．故选AB项． 14．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________；数列的前10项和为________. 解析　因为a1＝1，an＋1－an＝n＋1，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝(n≥2)，又a1＝1符合上式，所以an＝(n∈N*)．令bn＝，则bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2×＝. 答案　an＝(n∈N*)　 15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2. (1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象； (2)分别求使得{Sn}单调递增、单调递减的n满足的条件，并求{Sn}的最大(或最小)项； (3){Sn}有多少项大于零？ 解析　(1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.{Sn}的图象如图所示． (2)Sn＝－n2＋13n＝－2＋，n∈N*， 所以当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．当n＝6或7时，Sn最大，所以{Sn}有最大项，最大项是S6，S7，且S6＝S7＝42. (3)由图象得{Sn}中有12项大于零． 16．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn. 解析　(1)根据已知条件可设等差数列{an}的公差为d，则解得所以an＝a1＋(n－1)d＝17－2(n－1)＝－2n＋19. (2)由(1)得Sn＝＝－n2＋18n，所以Tn＝－n2＋18n－10.当n＝1时，b1＝T1＝7；当n≥2且n∈N*时，bn＝Tn－Tn－1＝－2n＋19.又b1＝7不符合此式，所以bn＝当1≤n≤9时，bn＞0；当n≥10时，bn＜0.所以当1≤n≤9时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋bn＝Tn＝－n2＋18n－10；当n≥10时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋b9－(b10＋b11＋…＋bn)＝2(b1＋b2＋…＋b9)－(b1＋b2＋…＋b9＋b10＋b11＋…＋bn)＝－Tn＋2T9＝n2－18n＋152. 综上所述，Rn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$