4.2.2.1 等差数列的前n项和公式及其性质 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为(　　) A．200 B．100 C．90 D．70 答案　B 解析　由题意和前n项和公式可得S10＝＝100.故选B项． 2．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案　A 解析　由题意可得Sn＝n·＋×＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，即n＝12.故选A项． 3．已知数列{an}是等差数列，且Sn＝20，S2n＝38，则S3n＝(　　) A．63 B．54 C．36 D．27 答案　B 解析　因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.故选B项． 4．(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则(　　) A．a1＝1 B．d＝－ C．a2＋a12＝10 D．S10＝40 答案　ACD 解析　设数列{an}的公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1.又a7＝a1＋6d，所以d＝，所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.故选ACD项． 5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　) A．765 B．665 C．763 D．663 答案　B 解析　由题意构造等差数列{an}，满足a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，所以n<15，所以n的最大值为14，所以S14＝14×2＋×14×13×7＝665.故选B项． 二、填空题 6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝__________. 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝. 答案　 7．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且an∶bn＝(2n＋1)∶(3n－2)，则＝__________. 解析　因为{an}，{bn}均为等差数列，所以＝＝＝＝. 答案　 8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝__________. 解析　因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5. 答案　5 三、解答题 9．一个等差数列共2 025项，求它的奇数项和与偶数项和之比． 解析　等差数列{an}共有1 013个奇数项，1 012个偶数项，所以S奇＝，S偶＝.因为a1＋a2 025＝a2＋a2 024，所以＝. 10．已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列的前n项和Tn. 解析　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.因为S7＝7，S15＝75，所以即解得所以＝a1＋d＝－2＋＝，所以－＝，所以数列是等差数列，且其首项为－2，公差为，所以Tn＝n2－n. 11．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an＝(　　) A. B． C. D． 答案　C 解析　由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，所以a2＋a3＋a4＋a5＋…＋an＝＝.故选C项． 12．(多选)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N*且n＜13)，有以下结论，其中正确的为(　　) A．a7＝0 B．S13＝0 C．{an}为递增数列 D．a13＝0 答案　AB 解析　对于A项，令n＝7，由题意可得S7＝S6⇒S7－S6＝0⇒a7＝0，故A项正确；对于B项，S13＝＝13a7＝0，故B项正确；对于C项，当an＝0时，满足Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确，故C项错误；对于D项，由A，B项可设当an＝7－n时，满足Sn＝S13－n，但a13＝－6，故D项错误．故选AB项． 13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝__________. 解析　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45. 答案　45 14．一个等差数列的前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，则公差d＝______. 解析　因为前20项中S奇∶S偶＝1∶2，所以奇数项和S奇＝×75＝25，偶数项和S偶＝×75＝50，又S偶－S奇＝10d，所以d＝＝. 答案　 15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是__________，项数是__________. 解析　设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项． 答案　11　7 16．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值． 解析　(1)因为S4＝28，所以＝28，a1＋a4＝14，所以a2＋a3＝14，又a2a3＝45，公差d>0，所以a2<a3，所以a2＝5，a3＝9，所以解得所以an＝4n－3，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝2n2－n，所以bn＝＝，所以b1＝，b2＝，b3＝.又{bn}也是等差数列，所以b1＋b3＝2b2，即2×＝＋，解得c＝－(c＝0舍去)，所以c的值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $$