4.2.1.2 等差数列的性质 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a9＝18，则公差d为(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 答案　C 解析　因为数列{an}为等差数列，所以a9＝a3＋6d，即18＝6＋6d，所以d＝2.故选C项． 2．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　) A．7 B．5 C．3 D．1 答案　D 解析　因为数列{an}，{bn}为等差数列，所以数列{2an－3bn}为等差数列，且公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.故选D项． 3．(多选)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则(　　) A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝0 答案　CD 解析　根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝2a51＝0.故选CD项． 4．已知数列是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9＝(　　) A．12 B．24 C．16 D．32 答案　A 解析　令bn＝，由题意可知b3＝＝，b15＝＝2，则等差数列{bn}的公差d＝＝，则b9＝b3＋(9－3)d＝，所以a9＝9b9＝12.故选A项． 5．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，以此类推，2024年是甲辰年，请问：在100年后的2124年为(　　) A．甲申年 B．癸卯年 C．辛丑年 D．庚子年 答案　A 解析　由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于100÷10＝10，余数为0，故100年后天干为甲；由于100÷12＝8……4，余数为4，故100年后地支为申．综上，100年后的2124年为甲申年．故选A项． 二、填空题 6．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12＝________. 解析　因为a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，a4＋a12＝a6＋a10＝2a8，所以5a8＝120，即a8＝24，所以2a10－a12＝2(a8＋2d)－(a8＋4d)＝a8＝24. 答案　24 7．已知在等差数列{an}中，5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝__________. 解析　由5是a3和a6的等差中项，可得a3＋a6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a1＋a8＝a3＋a6＝10. 答案　10 8．若三个数成等差数列，首末两项之积为中间项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，则这三个数依次为__________. 解析　设这三个数依次为a－d，a，a＋d，根据已知条件可得解得或故所求的三个数依次为3,9,15或0,0,0. 答案　3,9,15或0,0,0 三、解答题 9．(1)已知在等差数列{an}中，a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13. (2)已知在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析　(1)方法一　化成关于a1和d的方程为(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48，所以4a13＝48，所以a13＝12. 方法二　由等差数列的性质得，a2＋a3＋a23＋a24＝(a2＋a24)＋(a3＋a23)＝4a13＝48，所以a13＝12. (2)方法一　由题意得 解得或所以d＝3或－3. 方法二　由等差数列的性质可得a2＋a5＝a3＋a4，则解得或由a5＝a2＋3d，得d＝3或d＝－3. 10．已知首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件： (1)a3＋a5＋a7＝93； (2)满足an>100的n的最小值是15. 试求公差d和首项a1的值． 解析　因为a3＋a5＋a7＝93，所以3a5＝93，所以a5＝31.令an＝a5＋(n－5)d>100，所以n>＋5.因为n的最小值是15，所以14≤＋5<15，解得6<d≤7，又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3. 11．(多选)下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题中正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 答案　AD 解析　在等差数列{an}中，因为d＞0，所以数列{an}为递增数列，所以A项正确；令an＝dn＋b，则nan＝dn2＋bn，当b＜0时，数列{nan}可能先减后增，所以B项错误；＝＝＋d，当b＞0时，数列是递减数列，所以C项错误；an＋3nd＝4dn＋b，因为d＞0，所以数列{an＋3nd}是递增数列，所以D项正确．故选AD项． 12．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．1或2 答案　D 解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.故选D项． 13．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km,4 km,8 km高度的气温分别为______℃，______℃，______℃. 解析　用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，公差为d，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，所以an＝15－6.5n.所以a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. 答案　2　－11　－37 14．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝7，a2＋b2＝9，则a3＋b3＝________，an＋bn＝________. 解析　设两个等差数列的公差分别为d1，d2，所以a2＝a1＋d1，b2＝b1＋d2，所以a2＋b2＝a1＋b1＋d1＋d2，即9＝9＋d1＋d2，所以d1＋d2＝0，所以{an＋bn}是常数列，所以an＋bn＝a3＋b3＝a1＋b1＝9. 答案　9　9 15．已知各项都为正数的等差数列{an}中，a5＝3，则a3a7的最大值为__________. 解析　因为等差数列{an}的各项都为正数，所以a3＞0，a7＞0，所以a3a7≤2＝a＝9，当且仅当a3＝a7＝3时，等号成立．所以a3a7的最大值为9. 答案　9 16．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？ 解析　由题意得an＝3n＋2(n∈N*)，bk＝4k－1(k∈N*)，两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得，所以n＝k－1.因为n∈N*，k∈N*，所以设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1.由已知得解得≤r≤.又r∈N*，所以r＝1,2，…，25，所以共有25个相同数值的项． 学科网（北京）股份有限公司 $$