山东省青岛市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数

山东省青岛市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数 一．选择题（共10小题） 1．（2024•市北区二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻R1上，使R1的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（　　） A．当没有粮食放置时，R1的阻值为40Ω B．R1的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是12.5% D．湿敏电阻R1与粮食水分含量之间是反比例关系 2．（2024•市北区二模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 3．（2024•胶州市二模）一次函数y＝bx﹣a和二次函数y＝ax2+x+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•胶州市二模）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为（5，2），则电源电压U为（提示：）（　　） A．5V B．10V C．15V D．20V 5．（2024•市北区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（6，0），顶点坐标为（2，﹣4），结合图象分析如下结论：①abc＞0；②当0＜x＜3时，y随x的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＞0； ④b2﹣16a＞4ac．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024•崂山区二模）反比例函数在第二象限内的图象与一次函数y＝x+b的图象如图所示．则函数y＝bx+k﹣3的图象大致为（　　） A． B． C． D． 7．（2024•市南区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bcx+b2﹣4ac与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 8．（2024•市南区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，其中正确的结论为（　　） ①abc＜0； ②a+b+c≥ax2+bx+c； ③若M（n2+1，y1）N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有2个． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 9．（2024•市南区二模）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从表中可知，下列说法中正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝0 B．抛物线与x轴的一个交点为（3，0） C．函数y＝ax2+bx+c的最大值为6 D．在对称轴右侧，y随x增大而增大 10．（2024•市南区二模）二次函数y＝ax2+2ax+3（a为常数，a≠0），当a﹣1≤x≤2时二次函数的函数值y恒小于4，则a的取值范围为（　　） A． B．a＞﹣1 C．或a＜0 D．或﹣1＜a＜0 二．填空题（共10小题） 11．（2024•胶州市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，并与x轴交于A，B两点，若OA＝3OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③3a+2c＜0；④若m为任意实数，则am2+b（m+1）≥a，正确的有 　 　． 12．（2024•市北区二模）如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”A，B两点的坐标分别为（﹣3，2），（3，2），则蝴蝶“翅膀尾部”点C的坐标为 　 　 13．（2024•市北区二模）如图①，在菱形ABCD中，∠D＝120°，点E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC的长度为x，PE与PB的长度之和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为 　 　． 14．（2024•市北区二模）如图，点A为反比例函数的图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，连接BC，AD∥BC交y轴于点D，若S四边形ABCD＝0.5，则k的值为 　 　． 15．（2024•市南区二模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为 　 　． 16．（2024•市南区二模）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（，2），顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为 　 　． 17．（2024•青岛二模）写出一个具有性质①②的函数y＝　 　． ①当1＜x＜4时，y的值随x值的增大而减小； ②当x＝3时，y＝9． 18．（2024•青岛二模）已知直线y＝kx﹣2与y轴交于点A，与双曲线交于B，C两点，若AB＝2AC，则k的值为 　 　． 19．（2024•市南区二模）如图，正比例函数y1＝﹣3x的图象与反比例函数y2的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12，则k＝　 　． 20．（2024•胶州市二模）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y和y的图象上，则k的值为　 　． 三．解答题（共5小题） 21．（2024•市北区二模）如图，矩形OABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，双曲线经过格点B． （1）求双曲线的解析式； （2）经过点B的直线y＝ax+b将矩形OABC分为面积比为1：2的两部分，求该直线的解析式． 22．（2024•市北区二模）今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进A，B两种跑鞋共80双进行销售．已知9000元全部购进B种跑鞋数量是全部购进A种跑鞋数量的1.5倍，A种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多150元，A，B两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元． （1）求A，B两种跑鞋的进价分别是多少元？ （2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进A种跑鞋的数量不多于B种跑鞋的，销售时对B种跑鞋每双降价25%出售．若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？ 23．（2024•市北区二模）阅读材料 通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？ 如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2＝|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2，所以A、B两点间的距离为AB．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离． 我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离： 已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d． 计算：例如：求点P（﹣2，1）到直线y＝x+1的距离． 解：因为直线y＝x+1可变形为x﹣y+1＝0，其中k＝1，b＝1． 所以点P（﹣2，1）到直线y＝x+1的距离了为d． 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知A（﹣2，1），B（4，3），写出线段AB的长度 　 　；（只写答案） （2）点P（1，1）到直线y＝3x﹣2的距离，并说明点P与直线的位置关系； （3）已知直线y＝﹣2x+1与y＝﹣2x+3平行，求这两条直线的距离． 24．（2024•崂山区二模）某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图1所示，其中支架DE＝BC＝3米，OF＝DF＝BD＝2米，两种支架各用了200根． 为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算为40000元． （1）分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式；②求出改造前大棚的最大高度； （2）只考虑经费情况下，求出CC′的最大值． 25．（2024•市南区二模）如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观．喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中．图2是其截面图，已知路面OA宽为3.5米，河道坝高AE为5米，B与A的水平距离BE为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米．以点O为坐标原点，射线OA为x轴正方向建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？ （3）水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上．当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ 山东省青岛市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024•市北区二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻R1上，使R1的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（　　） A．当没有粮食放置时，R1的阻值为40Ω B．R1的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是12.5% D．湿敏电阻R1与粮食水分含量之间是反比例关系 【解答】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知R1的阻值为40Ω，故本选项不符合题意； B、由图象可知，R1的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意； C、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是12.5%，故本选项不符合题意； D、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象中得到当水分含量为0时，R1的阻值为40Ω，此时这水分含量×R1的阻值为0，不符合成反比例关系的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（2024•市北区二模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 【解答】解：根据题意得，反比例函数解析式为：h， A、当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故原说法错误，不符合题意； B、当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故原说法错误，不符合题意；， C、当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3，正确，符合题意； D、当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm，故原说法错误，不符合题意；， 故选：C． 3．（2024•胶州市二模）一次函数y＝bx﹣a和二次函数y＝ax2+x+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数y＝bx﹣a过二，三，四象限，故本选项符合题意； B．∵二次函数图象开口向下，与y轴交点在正半轴， ∴a＜0，b＞0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过第一、二、三象限，抛物线的对称轴为，故本选项不符合题意； C．∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过第二、三、四象限，故本选项不符合题意； D．∵二次函数图象开口向下，与在y轴交点在正半轴， ∴a＜0，b＞0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过一、二，三象限，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（2024•胶州市二模）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为（5，2），则电源电压U为（提示：）（　　） A．5V B．10V C．15V D．20V 【解答】解：将P（5，2）代入得， ， ∴U＝2×5＝10． 故选：B． 5．（2024•市北区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（6，0），顶点坐标为（2，﹣4），结合图象分析如下结论：①abc＞0；②当0＜x＜3时，y随x的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＞0； ④b2﹣16a＞4ac．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵函数开口方向向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2 ∴当x＞2时，y随x的增大而增大； 故②错误； ③∵图象与x轴交于点A（6，0），对称轴为直线x＝2， ∴图象与x轴的另一个交点为（﹣2，0）， ∴a﹣b+c＜0，a+b+c＜0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＞0，即（a+c）2﹣b2＞0； 故③正确； ④∵图象对称轴为直线x＝2， ∴2， ∴b＝﹣4a， ∴b2﹣16a＝16a2﹣16a， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象顶点坐标为（2，﹣4）， ∴4a+2b+c＝﹣4， ∴4a﹣8a+c＝﹣4， ∴c＝4a﹣4， ∴4ac＝4a（4a﹣4）＝16a2﹣16a， ∴b2﹣16a＝4ac． 故④错误； 综上所述，正确的有①③共2个， 故选：B． 6．（2024•崂山区二模）反比例函数在第二象限内的图象与一次函数y＝x+b的图象如图所示．则函数y＝bx+k﹣3的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由函数图象可知，当x＝﹣1时，﹣k＝﹣1+b， ∴k+b＝1， ∵一次函数y＝x+b与y轴的交点在x轴上方， ∴b＞0， ∴C，D不符合题意； 当x＝1时，函数y＝bx+k﹣3可化为b+k﹣3＝1﹣3＝﹣2， ∴函数图象经过点（1，﹣2）， ∴A正确． 故选：A． 7．（2024•市南区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bcx+b2﹣4ac与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向上，则a＞0． 对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，所以b＜0， 抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， 又因为抛物线与x轴有2个交点， 所以b2﹣4ac＞0， 所以直线y＝cbx+b2﹣4ac经过第一、二、三象限． 当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以双曲线经过第一、三象限． 综上所述，符合条件的图象是A选项． 故选：A． 8．（2024•市南区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，其中正确的结论为（　　） ①abc＜0； ②a+b+c≥ax2+bx+c； ③若M（n2+1，y1）N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有2个． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线的对称轴为直线x1＞0， ∴b＝﹣2a＞0． ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0． ∴abc＜0，故①正确． 由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c最大， ∴a+b+c≥ax2+bx+c，故②正确． ∵M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）在对称轴右侧，n2+1＜n2+2， ∴y1＞y2，故③正确． ∵抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的交点是（3，0），（﹣1，0）， ∴把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝9a+3b+c， ∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a． ∴9a﹣6a+c＝0， ∴c＝﹣3a． ∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a（a＜0）， ∴顶点坐标为（1，﹣4a）． 由图象得当0＜y≤﹣4a时，﹣1＜x＜3，其中x为整数时，x＝0，1，2， 又∵x＝0与x＝2时，关于直线x＝1轴对称， 当x＝1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点． 所以p值可以有2个．故④正确． 综上，正确的有：①②③④． 故选：A． 9．（2024•市南区二模）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从表中可知，下列说法中正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝0 B．抛物线与x轴的一个交点为（3，0） C．函数y＝ax2+bx+c的最大值为6 D．在对称轴右侧，y随x增大而增大 【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 把（0，6），（﹣2，0），（﹣1，4）分别代入得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+6， ∵抛物线过点（0，6），（1，6）， ∴抛物线的对称轴为直线x，故A不正确，不符合题意； ∵抛物线过点（﹣2，0）， ∴抛物线与x轴的一个交点为（3，0）．故B正确，符合题意． ∵抛物线的最值在x处取得，不是6，故C不正确，不符合题意； ∵﹣1＜0， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 10．（2024•市南区二模）二次函数y＝ax2+2ax+3（a为常数，a≠0），当a﹣1≤x≤2时二次函数的函数值y恒小于4，则a的取值范围为（　　） A． B．a＞﹣1 C．或a＜0 D．或﹣1＜a＜0 【解答】解：①当a＞0时，抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x1， ∴根据抛物线的对称性可得，点（﹣4，y1）与（2，y1）关于对称轴对称． ∵a﹣1≤x≤2时，y＜4． ∴a﹣1＝﹣4， ∴a＝﹣3（不合题意）． ∵﹣4≤x≤2时，y＜4， ∴把x＝2，代入抛物线解析式得， 4a+4a+3＜4，解得a． ∴a的取值范围为0＜a． ②当a＜0时， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线的顶点为最高点，其坐标为（﹣1，﹣a+3）． ∵a﹣1＜﹣1＜2， ∴﹣a+3＜4，解得a＞﹣1． ∴a的取值范围为﹣1＜a＜0． 综上所述，a的取值范围为0＜a或﹣1＜a＜0． 故选：D． 二．填空题（共10小题） 11．（2024•胶州市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，并与x轴交于A，B两点，若OA＝3OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③3a+2c＜0；④若m为任意实数，则am2+b（m+1）≥a，正确的有 　②③④　． 【解答】解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0， ∴abc＜0，故①错误； ②∵对称轴为直线x＝﹣1，OA＝3OB， 可得OA＝3，OB＝1， ∴点A（﹣3，0），点B（1，0）， ∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0， ∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即1， ∴b＝2a， ∵a+b+c＝0， ∴3a+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴3a+2c＝﹣3a， ∵a＞0， ∴3a+2c＜0，故③正确； ④当x＝﹣1时，函数有最小值y＝a﹣b+c， 由am2+bm+c≥a﹣b+c，可得am2+bm+b≥a， ∴若m为任意实数，则am2+b（m+1）≥a，故④正确； 故答案为：②③④． 12．（2024•市北区二模）如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”A，B两点的坐标分别为（﹣3，2），（3，2），则蝴蝶“翅膀尾部”点C的坐标为 　（﹣1，﹣2）　 【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，则点C的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）． 13．（2024•市北区二模）如图①，在菱形ABCD中，∠D＝120°，点E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC的长度为x，PE与PB的长度之和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为 　（，2）　． 【解答】解：如图，连接BD，DE．DE、AC交于 点P，BD、AC交于点O． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD． ∴B、D关于AC对称． ∴PB＝PD． ∴y最小＝PB+PE＝PD+PE＝DE． 观察函数图象可知，当点P与C重合时，PE+PB＝6， 即CE+CB＝6． ∵点E是AB的中点， ∴CECB． ∴CB+CB＝6． 解得：CB＝4． ∴CE＝2． ∵四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°， ∴CD＝BC＝4，AD∥CB， ∴∠DCB＝180°﹣120°＝60°． ∴△BCD为等边三角形． ∴DB＝DC． ∵点E是CB的中点， ∴DE⊥CB． ∴∠DEC＝90°． ∴DE＝2． ∴PB+PE的最小值为 2，即点H的纵坐标为2 ． ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠PCB∠BCD＝30°． ∴PC2． ∴图象上最低点H的坐标为：（，2）． 故答案为：（，2）． 14．（2024•市北区二模）如图，点A为反比例函数的图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，连接BC，AD∥BC交y轴于点D，若S四边形ABCD＝0.5，则k的值为 　﹣0.5　． 【解答】解：设点A坐标为（m，n）， k＝丨m丨•丨n丨＝S四边形ABCD＝0.5， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣0.5． 故答案为：﹣0.5． 15．（2024•市南区二模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为 　y＝﹣5x2+175x﹣1250　． 【解答】解：当销售单价为x元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售50﹣（x﹣15）×5＝（125﹣5x）件， 根据题意得：y＝（x﹣10）（125﹣5x）， 即y＝﹣5x2+175x﹣1250． 故答案为：y＝﹣5x2+175x﹣1250． 16．（2024•市南区二模）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（，2），顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为 　8　． 【解答】解：∵点C的坐标为（，2）， ∴OC， ∵四边形OABC是菱形， ∴BC＝OC，BC∥OA， ∴点B的坐标为（4，2）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过顶点B， ∴k＝xy＝4×2＝8． 故答案为：8． 17．（2024•青岛二模）写出一个具有性质①②的函数y＝　（答案不唯一）　． ①当1＜x＜4时，y的值随x值的增大而减小； ②当x＝3时，y＝9． 【解答】解：∵当1＜x＜4时，y的值随x值的增大而减小， ∴设符合题意的反比例函数解析式为y（k＞0）， ∵当x＝3时，y＝9， ∴9，解得k＝27， ∴符合条件的函数解析式为y． 故答案为：（答案不唯一）． 18．（2024•青岛二模）已知直线y＝kx﹣2与y轴交于点A，与双曲线交于B，C两点，若AB＝2AC，则k的值为 　　． 【解答】解：①当k＜0时，如图1中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，）， ∵直线y＝kx﹣2与y轴交于点A， ∴A（0，﹣2）， ∴OA＝2， ∵CH∥BF， ∴， ∵CH＝﹣m， ∴BF＝﹣2m，AF＝2AH， ∴B（2m，）， ∴22（2）， 解得m＝﹣3， ∴C（﹣3，）， 代入y＝kx﹣2，得到k． ②当k＞0时，如图2中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，）， ∵CH∥BF， ∴， ∵CH＝﹣m， ∴BF＝﹣2m，AF＝2AH， ∴B（﹣2m，）， ∴22（2）， 解得m＝﹣1， ∴C（﹣1，﹣4）， 把点C（﹣1，﹣4）代入y＝kx﹣2，得到k＝2， 综上所述，满足条件的k的值为2或． 故答案为：2或． 19．（2024•市南区二模）如图，正比例函数y1＝﹣3x的图象与反比例函数y2的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12，则k＝　﹣12　． 【解答】解：由题意，过点A作AH⊥x轴， ∵AC＝AO， ∴△AOC为等腰三角形． ∴CH＝HO． ∴S△AOH＝S△ACHS△AOC12＝6|k|． 又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即k＜0， ∴k＝﹣12． 故答案为：﹣12． 20．（2024•胶州市二模）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y和y的图象上，则k的值为　12　． 【解答】解：过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F， ∵∠AOB＝90°，∠ABC＝30°， ∴tan30°， ∵∠OAE+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°， ∴∠OAE＝∠BOF， ∴△AOE∽△BOF， ∴， 设A（m，）， ∴AE＝﹣m，OE， ∴OFAEm，BFOE， ∴B（，）， ∴km•12． 故答案为：12． 三．解答题（共5小题） 21．（2024•市北区二模）如图，矩形OABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，双曲线经过格点B． （1）求双曲线的解析式； （2）经过点B的直线y＝ax+b将矩形OABC分为面积比为1：2的两部分，求该直线的解析式． 【解答】解：（1）根据题意得：B（6，3）， ∴， ∴k＝18， ∴双曲线的解析式为：； （2）如图，当过点B的直线与线段OA相交时，设交点为F， 由题意得：S矩形ABCD＝6×3＝18， ∵矩形OABC的面积分成1：2的两部分， ∴S△ABF为或， ∵B（6，3）， ∴①若，解得：AF＝4， ∵OA＝6， ∴OF＝6﹣4＝2， 此时点F的坐标为（2，0）， ∴当B（6，3），F（2，0）时， 解得：， 此时直线的解析式为， ②若，解得：AF＝8， ∵OA＝6＜8， ∴此时，过点B的直线与线段OA没有交点， 如图，当过点B的直线与线段OC相交时，设交点为F， ∵矩形OABC的面积分成1：2的两部分， ∴S△BCF为或， ∵B（6，3）， ∴①若，解得：CF＝2， ∵OC＝3， ∴OF＝3﹣2＝1， 此时点F的坐标为（0，1）， ∴当B（6，3），F（0，1）时，， 解得：， 此时直线的解析式为， ②若，解得：CF＝4， ∵OC＝3＜4， ∴此时，过点B的直线与线段OC没有交点， 综上，此时直线的解析式为或． 22．（2024•市北区二模）今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进A，B两种跑鞋共80双进行销售．已知9000元全部购进B种跑鞋数量是全部购进A种跑鞋数量的1.5倍，A种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多150元，A，B两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元． （1）求A，B两种跑鞋的进价分别是多少元？ （2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进A种跑鞋的数量不多于B种跑鞋的，销售时对B种跑鞋每双降价25%出售．若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设每双A种跑鞋的进价是x元，则每双B种跑鞋的进价是（x﹣150）元． 根据题意，得1.5， 解得x＝450， 经检验，x＝450是所列分式方程的根， 450﹣150＝300（元）， ∴每双A种跑鞋的进价是450元，每双B种跑鞋的进价是300元． （2）设购进A种跑鞋a双，则购进B种跑鞋（80﹣a）双． 根据题意，得a（80﹣a）， 解得a≤32． 设这批跑鞋全部售完获利W元，则W＝（550﹣450）a+[500×（1﹣25%）﹣300]（80﹣a）＝25a+6000， ∵25＞0， ∴W随a的增大而增大， ∵a≤32， ∴当a＝32时，W值最大，W最大＝25×32+6000＝6800，此时购进B种跑鞋80﹣32＝48（双）， ∴购进A种跑鞋32双、B种跑鞋48双才能获利最大，最大利润是6800元． 23．（2024•市北区二模）阅读材料 通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？ 如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2＝|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2，所以A、B两点间的距离为AB．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离． 我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离： 已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d． 计算：例如：求点P（﹣2，1）到直线y＝x+1的距离． 解：因为直线y＝x+1可变形为x﹣y+1＝0，其中k＝1，b＝1． 所以点P（﹣2，1）到直线y＝x+1的距离了为d． 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知A（﹣2，1），B（4，3），写出线段AB的长度 　2　；（只写答案） （2）点P（1，1）到直线y＝3x﹣2的距离，并说明点P与直线的位置关系； （3）已知直线y＝﹣2x+1与y＝﹣2x+3平行，求这两条直线的距离． 【解答】解：（1）∵A（﹣2，1），B（4，3）， ∴AB2； 故答案为：2； （2）∵直线y＝3x﹣2变形得：3x﹣y﹣2＝0， ∴点P（1，1）到直线y＝3x﹣2的距离d0， 则点P在直线上； （3）找出直线y＝﹣2x+1上一点（0，1）， ∵y＝﹣2x+3，即2x+y﹣3＝0，k＝﹣2，b＝3， ∴（0，1）到直线y＝﹣x+3的距离d， 则两平行线间的距离为． 24．（2024•崂山区二模）某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图1所示，其中支架DE＝BC＝3米，OF＝DF＝BD＝2米，两种支架各用了200根． 为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算为40000元． （1）分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式；②求出改造前大棚的最大高度； （2）只考虑经费情况下，求出CC′的最大值． 【解答】解：（1）①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知：A（0，1），E（4，3），C（6，3）， 设改造前的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， ∴． 解得：． ∴改造前的抛物线的函数表达式为y＝−x2x+1； ②由题意，∵y＝−x2x+1＝−（x﹣5）2， ∴当x＝5时，y取最大值为． ∴改造前大棚的最大高度为米； （2）∵改造前的抛物线的函数表达式为y＝−x2x+1， ∴当x＝2时，y（2﹣5）2， 当x＝4时，y（4﹣5）23， ∴FGm，DE＝3m， ∵DE＝BC， ∴BC＝3m， ∵DE＝BC，EE′＝CC′， ∴DE′＝BC′， ∴改造后抛物线对称轴为直线x＝5， ∴设改造后抛物线解析式为y＝mx2﹣10mx+1，如图： 当x＝2时，y＝m×22﹣10m×2+1＝﹣16m+1， 当x＝4时，y＝m×42﹣10m×4+1＝﹣24m+1， ∴G′（2，﹣16m+1），E′（4，﹣24m+1）， ∴GG′+EE′＝﹣16m+1（﹣24m+1﹣3）＝﹣40m， ∴（﹣40m）×200×60≤40000， 解得m， ∵CC'＝EE'＝﹣24m+1﹣3＝﹣24m﹣2， ∴当m时，CC′取最大值，最大值为2， ∴CC′的最大值为2m． 25．（2024•市南区二模）如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观．喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中．图2是其截面图，已知路面OA宽为3.5米，河道坝高AE为5米，B与A的水平距离BE为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米．以点O为坐标原点，射线OA为x轴正方向建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？ （3）水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上．当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ 【解答】解：（1）由题意得：二次函数的顶点坐标为（2，3）． ∴设该二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3． ∵经过原点， ∴4a+3＝0． 解得：a． ∴该二次函数的解析式为：y（x﹣2）2+3． （2）由（1）该二次函数的解析式为：y（x﹣2）2+3， ∴当x＝3.5时，y． 答：护栏的最大高度为米． （3）由题意得，A（3.5，0），B的坐标为（6，﹣5）． 设AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）． ∴． ∴． ∴y＝﹣2x+7（3.5≤x≤6）． ∴﹣2x+7（x﹣2）2+3． 解得：x1＝2（不合题意，舍去），x2． 当x时，y． ∴河水降至离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/11 14:48:37；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$