3.3 幂函数（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

函数的概念及性质 第三章 3.3　幂函数 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　幂函数的概念 y＝xα x α 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　幂函数的图象与性质 返回目录 数学　必修 第一册 单调递增 单调递减 单调递减 单调递减 返回目录 数学　必修 第一册 (1,1) 原点 下凸 上凸 α<0 y＝x 小 大 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　幂函数的概念 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　幂函数的定义域和值域 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　幂函数的图象及应用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究四　幂函数的性质及应用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解他们的变化规律，了解幂函数，培养数学抽象的核心素养(重点).2.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题，培养逻辑推理和直观想象的核心素养． 一般地，函数____________叫做幂函数，其中______是自变量，______是常数． 1．五种幂函数的图象与性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 单调 递增 x∈[0，＋∞)时， ____________ x∈(－∞，0]时， ____________ 单调 递增 单调 递增 x∈(0，＋∞)时， ________ x∈(－∞，0)时， ________ 定点 (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (1,1) (－1，－1) 2.一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点______. (2)当α>0时，幂函数的图象通过________，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象________；当0<α<1时，幂函数的图象________. (3)当______时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线_______对称． (5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从______到______的顺序排列． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα在定义域上单调递增．(　　) (2)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上单调递减．(　　) (3)当α＝0时，幂函数y＝xα的图象是一条直线．(　　) (4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．(　　) 提示　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 规律总结　　 幂函数y＝xα要满足三个特征：①系数为1；②底数是自变量x，指数是常数α；③项数为1.只有同时满足这三个特征，才是幂函数．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准． 【例题1】 (1)下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－；④y＝x； ⑤y＝.其中是幂函数的为________． (2)若函数y＝(m2－m－1)x2m－1为幂函数，则实数m的值为________． 解析　(1)由幂函数的定义及三个限制条件可知，y＝3x2中x2的系数为3，不是幂函数；函数y＝x2＋1的项数不为1，不是幂函数；y＝－中x－1的系数是－1，不是幂函数；y＝x是幂函数；y＝是幂函数．因此是幂函数的为④⑤. (2)因为函数y＝(m2－m－1)x2m－1为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 答案　(1)④⑤　(2)2或－1 【变式1】 (1)若幂函数y＝f(x)的图象过点，则该函数的解析式为________． (2)已知函数f(x)＝ax2a＋1＋b＋1是幂函数，则a＋b＝________. 解析　(1)设f(x)＝xα，由图象过点，得＝2α，则α＝－2，即函数的解析式为y＝x－2. (2)依题意，因为函数f(x)＝ax2a＋1＋b＋1是幂函数，所以即所以a＋b＝0. 答案　(1)y＝x－2　(2)0 规律总结　　 求幂函数的定义域和值域的方法 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解．其中，幂函数的定义域由幂指数α确定． (1)当幂指数取正整数时，定义域为R. (2)当幂指数取零或负整数时，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (3)当幂指数取分数时，可以化成根式，利用根式的要求求定义域． 【例题2】 求下列函数的定义域和值域． (1)y＝x－；(2)y＝x－. 解析　(1)函数解析式化为y＝，所以所求的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)． (2)因为y＝x－＝，所以所求的定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 【变式2】 求下列函数的定义域和值域． (1)y＝x；(2)y＝－x－；(3)y＝x－. 解析　(1)函数解析式化为y＝，所以所求函数的定义域为R，值域为[0，＋∞)． (2)函数解析式化为y＝－，所以所求函数的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}． (3)函数解析式化为y＝，所以所求函数的定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 规律总结　　 一般幂函数的图象可类比具体幂函数的图象． (1)当α<0时，函数图象与坐标轴无交点，类似于y＝x－1的图象． (2)当0<α<1时，函数图象向x轴弯曲，类似于y＝x eq \s\up10(\f(1,2))的图象． (3)当α>1时，函数图象向y轴弯曲，类似于y＝x3的图象．再结合函数的奇偶性可得一般幂函数的图象． 【例题3】 如图所示的曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图象，已知α∈，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　) A．－4，－，，4 B．4，，－，－4 C．－，－4,4， D．4，，－4，－ 答案　B 解析　如图所示，作直线x＝2，分别与4条幂函数曲线C1，C2，C3，C4相交于A，B，C，D四点．设C1，C2，C3，C4所对应的函数分别为y＝xx1，y＝xx2，y＝xx3，y＝xx4，则A，B，C，D的纵坐标分别为2x1，2x2，2x3，2x4且大小关系为2x1＞2x2＞2x3＞2x4. 经计算知24＞2＞2－＞2－4，所以相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为4，，－，－4.故选B项． 【变式3】 点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别满足什么条件时，有下列结论成立． ①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x)． 解析　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则()α＝2，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1.所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1. 分别作出它们的图象，如图所示，由图象可知，①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)＞g(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x∈(0,1)时，f(x)＜g(x)． 规律总结　　 幂函数性质应用的常见类型 (1)比较两个幂值的大小：关键是构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若底数不同，指数也不同，则需引入中间量．利用幂函数的单调性或借助函数的图象来比较． (2)解不等式：利用幂函数的性质解不等式的实质是已知两个函数值的大小判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：①确定可以利用的幂函数；②借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；③解不等式求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 【例题4】 (1)比较下列各组数的大小． ①(－2)－3，(－2.5)－3； ②－8－，－； ③4.1，3.8，(－1.9) . (2)若(3－2m) >(m＋1) ，求实数m的取值范围． 解析　(1)①因为幂函数y＝x－3在(－∞，0)上单调递减，且－2＞－2.5，所以(－2)－3＜(－2.5)－3. ②因为幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，－8－＝－，＞，所以＞，从而－＜－，即－8－＜－. ③因为4.1＞1＝1,0＜3.8＜1＝1，(－1.9) ＜0，所以4.1＞3.8＞(－1.9) . (2)因为幂函数y＝x在定义域[0，＋∞)上单调递增，所以有 解得－1≤m<，即m的取值范围为. 【变式4】 (1)比较下列各组数的大小(填“>”或“<”)． ①3－______3.1－； ②(－10) ______20－______3. (2)若(2m＋1) ＞(m2＋m－1) ，则实数m的取值范围是________． 解析　(1)①因为函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减，又3<3.1，所以3－＞3.1－. ②因为3＞1＝1,0＜20－＜1－＝1， (－10) ＜0，所以(－10) ＜20－＜3. (2)因为y＝x＝在定义域[0，＋∞)上单调递增，所以解得 即≤m＜2.故实数m的取值范围是. 答案　(1)①＞　②＜　＜　(2) 1．在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝3x3，y＝x2＋2x，y＝x－1，y＝x0中，幂函数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　B 解析　y＝＝x－2，y＝x0是幂函数．故选B项． 2．幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 答案　D 解析　设f(x)＝xα，由2α＝，得α＝－2，所以f(x)＝x－2，单调递增区间是(－∞，0)．故选D项． 3．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．y＝x0的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1) C．幂函数的图象不可能出现在第四象限 D．若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数 答案　ABD 解析　A项中，图象是两条射线(x≠0)，故A项不正确；B项中，当α＜0时，图象不过点(0,0)，故B项不正确；C项正确；D项中，y＝x－1是奇函数，但不是增函数，故D项不正确．故选ABD项． 4．y＝x在[－1,1]上(　　) A．单调递增且是奇函数 B．单调递增且是偶函数 C．单调递减且是奇函数 D．单调递减且是偶函数 答案　A 解析　由幂函数的性质知，当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上单调递增，所以y＝x在[0,1]上单调递增．设f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x) ＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0]时，y＝x也单调递增．故y＝x在[－1,1]上单调递增且是奇函数．故选A项． $$