3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

函数的概念及性质 第三章 3.2　函数的基本性质 3.2.2　奇偶性 第二课时　函数奇偶性的应用 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　奇函数、偶函数的图象 原点 y轴 原点对称 偶函数 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系 单调递增(减) 最小值－M， 最大值－N 单调递减(增) 最大值M， 最小值N 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　利用函数的奇偶性求解函数图象问题 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　利用函数的奇偶性求函数解析式 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　利用函数的奇偶性求函数值或参数 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究四　函数奇偶性与单调性的综合应用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题，发展直观想象的核心素养.2.掌握用奇偶性求解析式的方法，强化逻辑推理和数学运算的核心素养(重点).3.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小，求最值和解不等式，强化逻辑推理和数学运算的核心素养(难点)． 1．奇函数的图象关于_____对称，偶函数的图象关于________对称；反之图象关于____________的函数一定是奇函数，图象关于y轴对称的函数一定是__________. 2．由于奇、偶函数的图象具有某种对称性，因此研究奇、偶函数时，为方便起见，往往只需研究它在y轴右侧部分的性质，就能根据对称性得到该函数在y轴左侧部分的性质，从而得到整个定义域内的函数性质． 1．若奇函数f(x)在[a，b]上单调递增(减)，且有最大值M，最小值N，则f(x)在[－b，－a]上_____________，且有____________ ______________. 2．若偶函数f(x)在[a，b]上单调递增(减)，且有最大值M，最小值N，则f(x)在[－b，－a]上___________，且有___________ ___________. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)奇函数的图象一定过原点．(　　) (2)偶函数的图象与x轴交点的个数一定是偶数．(　　) (3)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(　　) (4)奇函数在定义域内一定有最大值和最小值．(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 规律总结　　 (1)依据：奇、偶函数图象的对称性，奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题． 【例题1】 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示． 作出函数在[－5,0]上的图象，并求使函数值y<0的x的取值集合． 解析　由于函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，知它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 【变式1】 设偶函数f(x)的定义域为[－6,6]，若当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________. 解析　利用偶函数的图象关于y轴对称，画出函数的草图如图所示，根据图象观察可知不等式f(x)＜0的解集为(－6，－3)∪(3,6)． 答案　(－6，－3)∪(3,6) 规律总结　　 (1)已知函数奇偶性及其区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的步骤：①求谁设谁，求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间内；②要利用已知区间的解析式进行代入；③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． (2)奇函数f(x)的定义域内含0，则必有f(0)＝0，但f(x)若为偶函数，则未必有f(0)＝0. (3)当已知两函数之间的关系式，求解这两个函数的解析式时可使用方程组法求解，就是根据已知条件，建立有关变量与常量之间的关系，通过解方程(组)得到函数的解析式． 【例题2】 (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式． (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解析　(1)①当x＝0时，由f(－x)＝－f(x)得f(0)＝0； ②当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)·[1－(－x)]， 又因为f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝(－x)(1＋x)， 所以f(x)＝x(1＋x)． 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ (2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，用－x代替x，由f(x)＋g(x)＝　①，得f(－x)＋g(－x)＝，所以f(x)－g(x)＝　②，(①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝. 所以函数f(x)，g(x)的解析式分别为f(x)＝，g(x)＝. 【变式2】 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x|x－2|，求f(x)的解析式． (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解析　(1)x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|， 又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|， 而f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0， 综上知，f(x)＝ (2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，用－x代替x，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2　①，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2　②，(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.所以函数f(x)，g(x)的解析式分别为f(x)＝x2，g(x)＝2x. 规律总结　　 利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法 (1)把一些函数转化为奇(偶)函数，再利用奇偶性的定义f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)可求函数值． (2)比较f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的系数可求参数值． 且f(1＋x)＝f(－x)．若f ＝，则f ＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)若f(x)＝为奇函数，求a的值． 解析　(1)由题意可得f ＝f ＝f ＝－f ，而f ＝f ＝f ＝－f ＝－，故 f ＝.故选C项． 答案　C (2)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 即＝－，显然x≠0， 整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1. 【变式3】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝x3＋x2＋1，则f(－1)－g(－1)＝________. (2)已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx，若f(2)＝－3，则m的值为________． 解析　(1)在f(x)＋g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝3，因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－1)－g(－1)＝f(1)＋g(1)＝3. (2)因为f(x)是奇函数，且f(2)＝－3，所以f(－2)＝－f(2)＝3.又当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx，所以f(－2)＝(－2)2－2m＝3，解得m＝.所以m的值为. 答案　(1)3　(2) 解题技巧　 函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． 【例题4】 (1)若偶函数f(x)在(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f ＜f(－1)＜f(2) B．f(－1)＜f ＜f(2) C．f(2)＜f(－1)＜f D．f(2)＜f ＜f(－1) (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0的解集为________． 解析　(1)因为f(x)是偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又f(x)在(－∞，－1]上单调递增，－2＜－＜－1，所以f(－2)＜f＜f(－1)，即f(2)＜f＜f(－1)．故选D项． (2)因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．又f(－3)＝0，所以f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x|－3<x<0或x>3}． 答案　(1)D　(2){x|－3<x<0或x>3} 【变式4】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)单调递减，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，则(　　) A．f(1)＜f(2)＜f(3) B．f(2)＜f(3)＜f(1) C．f(3)＜f(2)＜f(1) D．f(1)＜f(3)＜f(2) (2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上单调递减且为奇函数，若f(1－a)＋f(1－2a)＜0，则实数a的取值范围是____________． 解析　(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，因为当x∈[0,1]时，f(x)单调递减，所以f(x)在x∈[－1,1]上单调递减，因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)在x∈[1,3]上单调递增，所以f(1)＜f(2)＜f(3)．故选A项． (2)由f(1－a)＋f(1－2a)＜0，得f(1－a)＜－f(1－2a)． 因为f(x)在定义域(－1,1)上单调递减且为奇函数， 所以f(1－a)＜f(2a－1)． 所以解得所以0＜a＜. 故实数a的取值范围是. 答案　(1)A　(2) 1．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图象关于(　　) A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 答案　C 解析　函数f(x)＝－x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－＋x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)＝－x的图象关于原点对称．故选C项． 2．已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－1，则f(－8)的值是____________. 解析　由已知得f(－8)＝－f(8)＝－(2×82－1)＝－127. 答案　－127 3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________． 解析　设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x. 又因为y＝f(x)是R上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)． 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x， 故f(x)＝ 答案　f(x)＝ 4．已知f(x)，g(x)均为奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为5，则F(x)在(－∞，0)上的最小值为________. 解析　由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为5，得F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上的最大值为3.又f(x)，g(x)均为奇函数，根据奇函数的性质可知F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上的最小值为－3，故F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上的最小值为－3＋2＝－1. 答案　－1 $$