3.2.2 第1课时 函数奇偶性的概念（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

函数的概念及性质 第三章 3.2　函数的基本性质 3.2.2　奇偶性 第一课时　函数奇偶性的概念 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　偶函数、奇函数的定义 －x∈D f(－x)＝f(x) 偶函数 －x∈D f(－x)＝－f(x) 奇函数 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　判断函数奇偶性的变形技巧 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　简单函数的奇偶性判断 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　分段函数的奇偶性判断 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　抽象函数的奇偶性判断 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，培养数学抽象的核心素养.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法，提升逻辑推理和数学运算的核心素养(重点)． 1．一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有_________，且______________，那么函数f(x)就叫做_________. 2．一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有_________，且______________，那么函数f(x)就叫做__________. 当f(x)的函数值恒不为零时，若对于定义域内的任意一个x，都有eq \f(f－x,fx)＝1或f(－x)－f(x)＝0，那么这个函数就是偶函数；若对于定义域内的任意一个x，都有eq \f(f－x,fx)＝－1或f(－x)＋f(x)＝0，那么这个函数就是奇函数． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　　) (2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．(　　) (4)不存在既是奇函数又是偶函数的函数．(　　) 提示　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 解题技巧　 函数奇偶性的判断方法 (2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在选择、填空题中． 【例题1】 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝－； (4)f(x)＝·. 解析　(1)因为定义域不关于坐标原点对称，即－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)，所以f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数也不是偶函数． (2)定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝是奇函数． (3)定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－＝－＝－(－)＝－f(x)，所以f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数． (4)定义域为[1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 【变式1】 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2－x3； (3)f(x)＝|x|. 解析　(1)因为函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称．因为f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，所以f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)．故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数． (3)函数f(x)＝|x|的定义域为R，关于原点对称．因为f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，所以f(x)＝|x|是偶函数． 解题技巧　 判断分段函数奇偶性的方法 (1)一般用定义法分段处理．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数．要特别注意，若x∈[a，b]，－x∈[－b，－a]，在求f(－x)时，需代入区间[－b，－a]上的解析式． (2)分段函数的奇偶性也可通过图象的对称性加以判断． 【例题2】 已知函数f(x)＝判断f(x)的奇偶性． 解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ①当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋(－x)－1＝－x2－x－1＝－(x2＋x＋1)＝－f(x)； ②当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＋1＝－(－x2＋x－1)＝－f(x)． 综上可知，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 【变式2】 判断函数f(x)＝的奇偶性． 解析　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． ①当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x－2＝f(x)； ②当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)－2＝x－2＝f(x)； ③当x＝0时，f(－x)＝0＝f(x)． 综上，f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数． 高考拓展　　 (1)抽象函数奇偶性的判断通常用定义法，主要是充分运用所给条件，寻找f(x)与f(－x)之间的关系，此类题目常用到f(0)，可通过给式子中的变量赋值，构造出0，把f(0)求出来． (2)在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数，奇函数的和、差仍为奇函数，两个奇函数的积(商)为偶函数，一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 【例题3】 已知函数f(x)不恒为0，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．求证：f(x)是奇函数． 证明　函数定义域为R，其定义域关于原点对称． 因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0， 再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 【变式3】 已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数x1，x2都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)是偶函数． 证明　函数定义域为R，关于原点对称． 令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)．① 令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)．② 由①②得f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数． 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝2x2－3 B．y＝x3 C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x 答案　A 2．如果定义在区间[1－a,4]上的函数f(x)为偶函数，则a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 答案　D 解析　因为f(x)是偶函数，所以定义域关于原点对称，所以1－a＝－4，所以a＝5.故选D项． 3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是奇函数 B．|f(x)|g(x)是偶函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 答案　ABC 解析　因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)；因为函数g(x)是偶函数，所以g(－x)＝g(x)．因为f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，所以函数f(x)g(x)是奇函数，故A项正确；因为|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以函数|f(x)|g(x)是偶函数，故B项正确；因为f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以函数f(x)·|g(x)|是奇函数，故C项正确；因为|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，所以函数|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误．故选ABC项． 4．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 答案　B 解析　由题意可得f(x)＝＝－1＋.对于A项，f(x－1)－1＝－2，令g(x)＝－2，则g(－x)＝－－2≠－g(x)，不是奇函数；对于B项，f(x－1)＋1＝，令h(x)＝，则h(－x)＝－＝－h(x)，是奇函数；对于C项，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D项，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B项． $$