3.2.1 第2课时 画数的最大值、最小值（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

函数的概念及性质 第三章 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第二课时　函数的最大值、最小值 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点　函数的最值 ∀x∈D f(x)≤M ∃x0∈D f(x0)＝M 返回目录 数学　必修 第一册 ∀x∈D f(x)≥m ∃x0∈D f(x0)＝m 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　利用图象法求函数的最值 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　利用单调性求函数的最值 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　求二次函数的最值 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究四　实际应用中的函数最值 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义，强化数学抽象的核心素养.2.会借助单调性求最值，强化逻辑推理和数学运算的核心素养(难点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法，强化逻辑推理和数学运算的核心素养(重点)． 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)____________，都有________________； (2)______________，使得__________________. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)____________，都有________________； (2)______________，使得__________________. 那么，我们称m是函数y＝f(x)的最小值． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．(　　) (2)任何函数f(x)都有最大值和最小值．(　　) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(b)．(　　) (4)函数图象最高点的纵坐标为该函数的最大值，函数图象最低点的纵坐标为该函数的最小值．(　　) 提示　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 规律总结　　 图象法求最值的一般步骤 【例题1】 已知函数f(x)＝则f(x)的最大值和最小值分别是________. 解析　作出f(x)的图象，如图所示． 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为1. 当x＝0时，f(x)取最小值为0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 答案　1,0 【变式1】 用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值，设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________． 解析　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．解方程x＋2＝10－x得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)． 根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)＝所以函数f(x)的图象为图中实线部分． 观察图象知，两图象的交点(4,6)即为f(x)图象的最高点，故f(x)的最大值为6. 答案　6 规律总结　　 函数的最值与单调性的关系 (1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)． (2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)． (3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． 【例题2】 求函数y＝在x∈[2,3]上的最值． 解析　函数y＝＝＝1＋. 设2≤x1<x2≤3， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为2≤x1<x2≤3，所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0. 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以函数y＝在[2,3]上单调递减． 所以f(x)min＝f(3)＝＝， f(x)max＝f(2)＝＝4. 【变式2】 已知函数f(x)＝x2＋. (1)用定义证明函数f(x)在(1，＋∞)上是严格增函数； (2)设函数g(x)＝f(x2＋1)，x∈[0,2]，求g(x)的值域． 解析　(1)∀x1，x2∈(1，＋∞)，x1<x2， f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝(x1＋x2)·(x1－x2)＋＝(x1－x2)， 因为x1，x2∈(1，＋∞)，x1<x2，所以x1－x2<0，x1＋x2>2，x1x2>1， 所以<2，所以(x1＋x2)－>0， 所以(x1－x2)<0，所以f(x1)<f(x2)， 所以函数y＝f(x)在(1，＋∞)上是严格增函数． (2)设t＝x2＋1，因为x∈[0,2]，所以t∈[1,5]， 由(1)得f(t)＝t2＋，t∈[1,5]单调递增， 所以f(1)≤f(t)≤f(5)，即3≤f(t)≤， 所以g(x)＝f(x2＋1)的值域为. 解题技巧　 二次函数最值的求法 (1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． 【例题3】 已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值． (1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]． 解析　f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示． (1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值． (2)由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7. (3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4. 【变式3】 已知f(x)＝x2－2x＋3，x∈[t，t＋1]，求f(x)的最小值g(t)． 解析　①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增， 所以g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3； ②当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减， 所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2； ③当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝2. 综上可得，g(t)＝ 规律总结　　 解实际应用题的步骤 (1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系． (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式． (3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题的结论(一定要注意自变量的取值范围)． (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案． 【例题4】 如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋，x∈，求水流喷出的高度h的最大值是多少？ 解析　由函数h＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点，此时函数取得最大值．对于函数h＝－x2＋2x＋，x∈，当x＝1时，函数有最大值h(x)max＝－12＋2×1＋＝(m)．于是水流喷出的最大高度是 m. 【变式4】 绿园商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货能当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶． 解析　设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)·＝80(x－3)·(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取最大值． 答案　6 1．函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为(　　) A．f (2)，f(－2) B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(－1) C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(0) 答案　C 解析　根据函数最值的定义，结合函数图象知，当x＝－时，有最小值f ；当x＝时，有最大值f .故选C项． 2．函数y＝在区间[2,3]上的最小值为(　　) A．2 B． C． D．－ 答案　B 解析　函数y＝在区间[2,3]上单调递减，故当x＝3时，y有最小值ymin＝.故选B项． 3．已知函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________. 解析　若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上单调递减，在区间左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上单调递增，在区间右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1，满足a>0.综上，a＝1. 答案　1 4．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)若y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围． 解析　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.因为x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为1；当x＝－5时，f(x)取得最大值，最大值为37. (2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a.因为f(x)在[－5,5]上是单调函数，故－a≤－5或－a≥5，即实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． $$