3.2.1 第1课时 函数的单调性（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

函数的概念及性质 第三章 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第一课时　函数的单调性 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　定义域为D的函数f(x)的单调性 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　函数的单调区间 单调递增或单调递减 单调区间 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　证明或判断函数单调性 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　求函数的单调区间 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　函数单调性的应用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究四　抽象函数的单调性 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，并理解其作用和实际意义，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养(重点)． 如果函数y＝f(x)在区间I上______________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的____________. 提示　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都单调递增，则f(x)在区间[a，c]上单调递增．(　　) (2)函数f(x)的定义域为D，如果定义域内某个区间I上存在两个自变量x1，x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则f(x)在区间I上单调递增．(　　) (3)若f(x)在区间I上单调递减，则在此区间上函数值随自变量的增大而减小．(　　) (4)若函数y＝f(x)在区间I上单调递增，则函数y＝－f(x)在区间I上单调递减．(　　) 规律总结　　 证明或判断函数单调性的步骤 【例题1】 已知函数f(x)＝＋1，满足f(－2)＝0. (1)求实数a的值； (2)试判断此函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性并利用定义给予证明． 解析　(1)f(－2)＝＋1＝0，解得a＝2. (2)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，理由如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝＋1－－1＝， 因为x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，所以x1x2>0，x2－x1>0， 所以f(x1)－f(x2)＝>0，即f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 【变式1】 判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义加以证明． 解析　函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．证明如下： 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝. 因为x1＜x2，所以x2－x1＞0， 又x1，x2∈(1，＋∞)， 所以x2＋x1＞0，x－1＞0，x－1＞0. 所以＞0，即f(x1)＞f(x2)． 所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 规律总结　　 (1)函数单调区间的两种求法 ①图象法：先画出图象，根据图象求单调区间； ②定义法：先求出定义域，再利用定义进行判断求解． (2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上的单调区间时，单调区间之间可用“，”或“和”分开，不能用“∪”；在单调区间D上，函数要么单调递增，要么单调递减，不能二者兼有． 【例题2】 (1)写出函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调区间． (2)求函数f(x)＝x＋(x＞0)的单调区间． 解析　(1)y＝ 即y＝ 函数的大致图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，(0,1]，单调递减区间为(－1,0]，(1，＋∞)． (2)设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)－＝. 因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞0. 由于x1x2－9的符号不能确定，因此需要对x1，x2的取值进行讨论．当x1，x2∈(0,3]时，有x1x2－9＜0， 即f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在区间(0,3]上单调递减； 当x1，x2∈(3，＋∞)时，有x1x2－9＞0， 即f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增． 所以函数f(x)＝x＋(x＞0)的单调递减区间是(0,3]，单调递增区间是(3，＋∞)． 【变式2】 (1)作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间． (2)求函数f(x)＝的单调区间． 解析　(1)f(x)＝的图象如图所示． 由图可知函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)． (2)由题意可知f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝. 因为x2＞x1＞－1， 所以x2－x1＞0,1＋x1＞0,1＋x2＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递减， 同理可得f(x)在(－∞，－1)上也单调递减．故f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)． 解题技巧　 由函数单调性求参数的方法 (1)由函数解析式求参数 ①若为二次函数，则先判断函数图象的开口方向和对称轴，再利用单调性确定参数满足的条件； ②若为一次函数，则由一次项系数的正负确定单调性，从而确定参数满足的条件； ③若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)，则由数形结合法探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 【例题3】 (1)(2022·1月浙江)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] (2)已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围． 解析　(1)f(x)＝x2－2ax＋b的开口方向向上，对称轴为x＝a，因为f(x)＝x2－2ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，所以a≥1.故选A项． 答案　A (2)因为函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)， 所以有解得1≤x＜，所以x的取值范围是. 【变式3】 (1)已知f(x)在实数集上单调递减，若a＋b≤0，则下列各式正确的是(　　) A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)] B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)] D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) (2)(多选)函数y＝ax2＋bx＋3在(－∞，－1]上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　) A．b＞0，且a>0 B．b<0，且a<0 C．b＝2a D．b＝a 解析　(1)因为a＋b≤0，所以a≤－b，b≤－a.又f(x)在实数集上单调递减，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，故f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．故选D项． (2)由题意得，二次函数图象的开口向下，直线x＝－1是函数图象的对称轴，则有即b＝2a＜0.故选BC项． 答案　(1)D　(2)BC 高考拓展　　 解决抽象函数单调性问题的思路 抽象函数一般由方程(不等式)确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要注意运用好所给条件，判断出函数值之间的关系．常见思路是先在所证区间上设出任意x1，x2(x1<x2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题． 注意：若给出的是和型(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号的变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； 若给出的是积型(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f. 【例题4】 已知函数f(x)对任意的x∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的值域． 解析　(1)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0. 所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1) ＝f(x1)－[f(x2－x1)＋f(x1)] ＝－f(x2－x1)>0， 所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)是减函数． (2)因为f(x)为减函数， 所以f(x)在[－3,3]上单调递减， 所以f(3)≤f(x)≤f(－3)． 令x＝y＝0，则2f(0)＝f(0)，所以f(0)＝0. 令y＝－x，则f(x＋y)＝f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(－3)＝3f(－1)＝－3f(1)＝－3×＝2，f(3)＝－f(－3)＝－2.所以f(x)∈[－2,2]，即f(x)在[－3,3]上的值域为[－2,2]． 【变式4】 函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是增函数； (2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3. 解析 (1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，f(x2－x1)>1. 所以f(x2)－f(x1) ＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1) ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1) ＝f(x2－x1)－1>0. 所以f(x2)>f(x1)，故f(x)是增函数． (2)因为f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5， 所以f(2)＝3.所以原不等式可化为f(3m－2)<f(2)． 因为f(x)是增函数，所以3m－2<2，解得m<. 故不等式的解集为. 解析　根据函数单调性定义及函数图象可知f(x)的单调递增区间是[－3,1]．故选C项． 1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A．[－4,4] B．[－4，－3]和[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 答案　C 2．(多选)若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则a的值可以是(　　) A． B．0 C．－1 D．－2 答案　BCD 解析　由一次函数性质知2a－1<0，所以a<.故选BCD项． 3．函数y＝x2－2x的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 解析　由函数y＝x2－2x的图象知，抛物线开口向上且对称轴为x＝1，所以函数的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是(1，＋∞)． 答案　(－∞，1]　(1，＋∞) 4．若函数f(x)＝为R上的增函数，求实数b的取值范围． 解析　要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上单调递增，且满足h(0)≤g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得解得1≤b≤2，即实数b的取值范围是[1,2]． $$