3.1.2 第2课时分段函数（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

函数的概念与性质 第三章 3.1　函数的概念及其表示 3.1.2　函数的表示法 第二课时　分段函数 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点　分段函数的概念 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　分段函数的图象及应用 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　分段函数的求值方法 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　分段函数的实际应用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，强化数学运算的核心素养(难点). 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. (1)分段函数的“段”都是等长的.(　　) (2)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数.(　　) (3)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(　　) (4)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集.(　　) 提示　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 规律总结 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏. (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 【例题1】 已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域. 解析　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x. 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3). 【变式1】 如图所示，函数f(x)的图象是折线ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4). (1)求f(f(0))的值； (2)求函数f(x)的解析式. 解析　(1)观察题中函数f(x)的图象，可得f(f(0))＝f(4)＝2. (2)设AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，0≤x≤2，将点(0,4)与(2,0)代入上式，得解得所以y＝－2x＋4,0≤x≤2. 同理可知，BC所对应的函数解析式为y＝x－2,2<x≤6. 综上，f(x)＝ 解题技巧 分段函数的求值方法 在求分段函数值f(x0)时，分清x0所在的区间是关键，然后选择相应的解析式代入即可.反之，由f(x0)的值求x0，可通过图象得出x0所在的区间，再选择相应的解析式列方程求解；也可以利用每一区间上的解析式列方程求x0，然后检验x0是否属于相应区间. 【例题2】 (1)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝______. (2)已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x＝________. 解析　(1)因为1∈[－1,1]，所以f(1)＝3×1＝3.又3∈(1,5)，所以f(3)＝32－4×3＋6＝3，即f(f(1))＝3. (2)若x≤－1，则x＋2＝3，解得x＝1>－1(舍去)；若－1<x<2，则x2＝3，解得x＝±，由于－<－1，故x＝.综上，x＝. 答案　(1)3　(2) 【变式2】 已知f(x)＝ (1)求f的值； (2)若f(a)＝4，且a>0，求实数a的值. 解析　(1)易知f＝f＝f＝f＝f＝2×＋1＝2，所以f的值为2. (2)当0<a<2时，由f(a)＝2a＋1＝4，得a＝；当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4，得a＝或a＝－(舍去). 综上所述，a的值为或. 高考拓展 某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，需针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再根据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象，最后求解有关问题. 【例题3】 我国北方许多城市缺水，为了节约用水，某市出台了一项水费政策，规定每人每季度用水量不超过5吨时，每吨水费2.4元，超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收100%，超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收200%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元). 解析　由题意可知，①当0≤x≤5时，y＝2.4x； ②超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收100%，即当5＜x≤6时，y＝2.4×5＋(x－5)×4.8＝4.8x－12； ③超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收200%，即当6＜x≤7时，y＝2.4×5＋1×4.8＋(x－6)×7.2＝7.2x－26.4. 所以y＝ 【变式3】 某汽车以52 km/h的速度从A地行驶到距A地 260 km处的B地，在B地停留1.5 h后，再以65 km/h的速度返回A地，试将汽车离开A地后行驶的路程s(单位：km)表示为时间t(单位：h)的函数. 解析　因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，所以当0≤t≤5时，s＝52t；当5<t≤6.5时，s＝260；当6.5<t≤10.5时，s＝260＋65(t－6.5)＝65t－162.5. 所以s＝ 1.(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　) A.f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋1，1＜x≤5，,2x，x≤1)) B.f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2)) C.f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1)) D.f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋3，x＜0，,x－1，x≥5)) 答案　AD 解析　对于B项，取x＝2，得f(2)＝3或4；对于C项，取x＝1，得f(1)＝5或1，所以B，C项都不符合分段函数的定义；A，D项符合分段函数的定义.故选AD项. 2.拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费由分段函数f(m)＝ 确定(其中[m]是不超过m的最大整数，如[3.74]＝3)，则从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是(　　) A.3.71 B.4.24 C.4.77 D.7.95 答案　C 解析　因为5.2>4，所以f(5.2)＝1.06×(0.5×5＋2)＝4.77.故选C项. 3.已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________，若f(x0)＝4，则x0＝________. 解析　f(－2)＝(－2)2＝4，f(f(－2))＝f(4)＝4＋－1＝.当 x0≤1时，x＝4，x0＝±2，所以x0＝－2；当x0>1时，x0＋－1＝4，即x－5x0＋6＝0，所以x0＝2或x0＝3.故x0＝－2或2或3. 答案　　－2或2或3 4.已知f(x)＝若f(x)≥，求x的取值范围. 解析　当－1≤x≤1时，f(x)＝x≥，即≤x≤1； 当x>1或x<－1时，f(x)＝1－x≥，即x<－1. 故x的取值范围是(－∞，－1)∪. $$