3.1.2 第1课时 函数的表示法（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

函数的概念与性质 第三章 3.1　函数的概念及其表示 3.1.2　函数的表示法 第一课时　函数的表示法 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点　函数的三种表示方法 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　函数解析式的求法 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　函数列表法的运用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　函数图象的作法及应用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养(重点). 思考：函数三种表示法的优缺点是什么？ 提示　 表示法 优点 缺点 解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是利用解析式可求任一函数值 不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式 列表法 不需计算，可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 只能表示自变量取较少的有限值时的对应关系 图象法 能形象、直观地表示函数的变化情况 只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大 解题技巧 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式. (2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). (3)方程组法：分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或应用方程的性质去分析、转化解决问题.已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如 f(－x)，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【例题1】 (1)已知f(x)＝x2＋2，求f(x－1)，f(x＋2). (2)已知f(x＋1)＝x2＋2x，求f(x). (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x). 解析　(1)f(x－1)＝(x－1)2＋2＝x2－2x＋3，f(x＋2)＝(x＋2)2＋2＝x2＋4x＋6. (2)令t＝x＋1，则x＝t－1， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，即f(x)＝x2－1. (3)已知f(x)＋2f＝x，将原式中的x与互换，得f＋2f(x)＝.于是得关于f(x)，f的方程组 解得f(x)＝－(x≠0). 【变式1】 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)的解析式为________. (2)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋2f(－x)＝3x－2，则f(x)的解析式为________. 解析　(1)依题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b＝4x－1， 所以解得或 所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. (2)由f(x)＋2f(－x)＝3x－2，知f(－x)＋2f(x)＝－3x－2，联立方程组解得f(x)＝－3x－，所以f(x)＝－3x－. 答案　(1)f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1 (2)f(x)＝－3x－ 规律总结 用列表法表示函数，不需要经过计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，但它只能表示自变量个数较少的函数关系，而且从表中不易看出自变量与函数间的对应关系，也不能直观反映函数值的变化规律. 【例题2】 已知函数f(x)，g(x)分别由两个表格给出. x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________. 解析　由已知g(1)＝3，所以f(g(1))＝f(3)＝1. f(g(x))与g(f(x))的对应值表如表所示. x 1 2 3 f(g(x)) 1 3 1 g(f(x)) 3 1 3 由表可知满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是2. 答案　1　2 【变式2】 在某洗衣店中，每洗一次衣服需付费4元，如果在这家洗衣店洗衣满12次，则其后可以免费洗1次，假设某人在这家店中洗了16次衣服. (1)根据题意填写表格； 洗衣次数n 5 8 12 13 16 洗衣费c/元 (2)“费用c是次数n的函数”还是“次数n是费用c的函数”？ 解析　(1)填表如下. 洗衣次数n 5 8 12 13 16 洗衣费c/元 20 32 48 48 60 (2)由n＝12,13时，c＝48可知，次数n与费用c是一个“多对一”的对应，根据函数的定义，只能是“费用c是次数n的函数”. 误区防错 作函数图象的注意事项 (1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图. (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象. (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等. (4)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等. 【例题3】 作出下列函数的图象，并求其值域. (1)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)； (2)y＝(x≥1). 解析　(1)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线，如图①，由图象知，函数值域为[－5,3). (2)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图②，由图象知，函数值域为(0,1]. 【变式3】 画出函数y＝的图象，并根据图象指出函数的值域. 解析　由题意，得y＝＝＝x＋3(x≠1)，画出函数图象如图所示. 根据图象可知，该函数的值域为{y|y∈R，且y≠4}. 1.某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分150分)如表所示. 考试次数x 1 2 3 4 5 成绩y/分 120 132 136 135 136 下列说法正确的是(　　) A.成绩y不是考试次数x的函数 B.成绩y是考试次数x的函数 C.考试次数x是成绩y的函数 D.成绩y不一定是考试次数x的函数 答案　B 解析　题表中列出了考试次数和成绩这两个变量之间的对应关系，根据函数的定义可得B项正确.故选B项. 2.某学生从家去学校，由于怕迟到，所以一开始跑步，等跑累了，再走余下的路，如图中y表示该学生与学校的距离，x表示出发后的时间，则符合题意的图象是(　　) 答案　D 解析　由题意知该学生离学校越来越近，故排除A，C项，又由于开始跑步，后来步行，体现在图象上是先“陡”后“缓”.故选D项. 3.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________. 解析　结合图象知，f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]. 答案　[－3,3]　[－2,2] 4.(1)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3). (2)已知f(x)＝x2＋px＋q，若f(1)＝f(2)＝0，求f(－1). 解析　(1)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)， 因为f(1)＝1，f(－1)＝－3， 所以解得所以f(x)＝2x－1. 所以f(3)＝2×3－1＝5. (2)由f(1)＝f(2)＝0，得解得 故f(x)＝x2－3x＋2，于是f(－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6. $$