3.1.1 函数的概念（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

函数的概念与性质 第三章 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　函数的概念 非空 实数集 从集合A到集合B y＝f(x)，x∈A 返回目录 数学　必修 第一册 x的取值范围A 函数值 {f(x)|x∈A} 子集 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　区间与无穷的概念 端点 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 要点三　函数的三要素 定义域 对应关系 值域 定义域 对应关系 定义域 对应关系 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　函数概念的应用 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　求函数的定义域 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　求函数的值及值域 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究四　同一个函数的判断 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，培养数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，培养数学运算的核心素养(重点). 1.函数的概念 前提：A，B是________的__________. 结论：f：A―→B称为____________________的一个函数，记作________________________. 2.函数的定义域与值域 函数y＝f(x)中，x叫做自变量，__________________叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做__________，函数值的集合________________________叫做函数的值域.显然，值域是集合B的________. 思考：(1)在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？ (2)如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？ 提示　(1)确定，一一对应. (2)不确定，例如函数的定义域为A＝{－1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系为f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可. 1.区间的定义及表示 设a，b是两个实数，而且a＜b.在数轴上表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 左闭右开 [a，b) {x|a＜x≤b} 左开右闭 (a，b] 这里的实数a与b都叫做相应区间的________. 2.无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 表格中的“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”. 1.函数的三要素是函数的__________、____________、________. 2.同一个函数：因为函数的值域是由__________和____________决定的，所以如果两个函数的__________相同，并且____________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系.(　　) (2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.(　　) (3)定义域中的某一个x可以对应着不同的y.(　　) (4)区间不可能是空集.(　　) 提示　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 规律总结 判断函数关系的步骤 首先，观察两个实数集A，B是否非空；其次，验证在对应关系下，集合A中数x的任意性和集合B中数y的唯一性，也就是既不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应数x. 【例题1】 下列对应关系是否为集合A到集合B的函数？ (1)A＝R，B＝{x|x≥0}, f：x→y＝|x|； (2)A＝R，B＝R, f：x→y＝； (3)A＝R，B＝Z, f：x→y＝； (4)A＝[－2,2]，B＝{1}, f：x→y＝1. 解析　(1)A中的任一元素按照对应关系y＝|x|，在B中都有唯一确定的元素与之对应，故此对应关系是集合A到集合B的函数. (2)A中的元素0在B中没有对应元素，故此对应关系不是集合A到集合B的函数. (3)负数没有平方根，故A中的负数元素在B中没有对应的元素，且不一定是整数，故此对应关系不是集合A到集合B的函数. (4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝1，在集合B中都有唯一一个确定的数1与它对应，故此对应关系是集合A到集合B的函数. 【变式1】 (多选)下面选项中，变量y是变量x的函数的是(　　) A.x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温 B.x表示年份，y表示对应的某地区的GDP (国内生产总值) C.x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号 D.x表示某人的月收入，y表示对应的个税 答案　ABD 解析　根据函数的定义可知，A，B，D项均满足函数的定义；C项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x，都有唯一的y与之对应，故C项错误.故选ABD项. 规律总结 不同类型函数的定义域 (1)f(x)为整式型函数时，定义域为R. (2)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合. (3)f(x)为二次根式(偶次根式)型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合. (4)函数y＝x0中的x不为0. (5)如果函数是一些简单函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集. (6)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求. 注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，则不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接. 【例题2】 (1)函数f(x)＝的定义域是(　　) A.{x|x＜2} B.{x|x＞2} C.R D.{x|x≠2} (2)函数y＝的定义域为(　　) A.{x|x≤2，且x≠－1} B.{x|x≤2，且x≠1} C.{x|x＜2，且x≠－1} D.{x|x＜2，且x≠1} (3)已知函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，则f(2x－3)的定义域为________. 解析　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x－2≠0，即x≠2.故函数的定义域为{x|x≠2}.故选D项. (2)要使函数有意义，需满足解得x<2且x≠－1.故函数的定义域为{x|x<2，且x≠－1}.故选C项. (3)因为函数y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)，即函数y＝f(2x－3)中2x－3的范围与函数y＝f(x)中x的范围相同，所以2x－3≥0，解得x≥，所以函数y＝f(2x－3)的定义域为. 答案　(1)D　(2)C　(3) 【变式2】 (1)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则f(2x＋1)的定义域为(　　) A.(－1,1) B. C.(1,0) D. (2)函数y＝的定义域为________. 解析　(1)因为函数f(x)的定义域为(－1,0)，所以－1<2x＋1<0，解得－1<x<－，所以函数f(2x＋1)的定义域为.故选B项. (2)要使函数有意义，需满足所以函数的定义域为{x|x≥－1，且x≠0}. 答案　(1)B　(2){x|x≥－1，且x≠0} 解题技巧 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算确定其值域. (2)常用方法 ①观察法：对于比较简单的函数，其值域可直接观察得到； ②配方法：求二次函数型值域的基本方法； ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数而求得原函数的值域.对于f(x)＝ax＋b＋(a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法； ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. 【例题3】 (1)已知f(x)＝(x≠－1)，则f(0)＝________，f＝________. (2)求下列函数的值域. ①y＝－1； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； ③y＝； ④y＝2x－. 解析　(1)f(0)＝＝1，f＝＝，所以f＝f＝＝. 答案　1　 (2)①因为≥0，所以－1≥－1， 所以y＝－1的值域为[－1，＋∞). ②y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，如图所示，可得函数的值域为[2,6). ③y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). ④设 t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以可以得到y＝2(t2＋1)－t＝22＋，由t≥0，再结合函数的图象，如图所示，可得原函数的值域为. 【变式3】 (1)已知函数f(x)＝x2＋1，则f(a＋1)的值为(　　) A.a2＋a＋2 B.a2＋1 C.a2＋2a＋2 D.a2＋2a＋1 (2)求下列函数的值域. ①y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； ②y＝－x2－2x＋3，－5≤x≤－2； ③y＝. 解析　(1)f(a＋1)＝(a＋1)2＋1＝a2＋2a＋2.故选C项. 答案　C (2)①将1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1计算得，此函数的值域为{3,5,7,9,11}. ②因为y＝－(x＋1)2＋4，－5≤x≤－2， 所以－4≤x＋1≤－1,1≤(x＋1)2≤16， 所以－16≤－(x＋1)2≤－1，－12≤－(x＋1)2＋4≤3， 所以此函数的值域为[－12,3]. ③因为y＝，所以0≤－(x－2)2＋9≤9， 所以此函数的值域是[0,3]. 误区防错 同一个函数的判断应注意的问题 (1)判断两个函数是否为同一个函数，不仅要看函数的解析式化简后是否相同，还要注意定义域是否相同，只有定义域、对应关系都相同的两个函数才是同一个函数. (2)应注意的问题：①与用哪个字母表示无关；②化简解析式必须是等价变形. 【例题4】 判断下列各组函数是否是同一个函数. (1)f(x)＝x2－x＋1，g(t)＝t2－t＋1； (2)f(x)＝·，g(x)＝. 解析　(1)虽然表示自变量的字母不同，但定义域、对应关系均相同，因而f(x)与g(t)是同一个函数. (2)因为f(x)的定义域为{x|x≥1}，而g(x)的定义域为{x|x≤－1，或x≥1}，两函数的定义域不同，所以f(x)与g(x)不是同一个函数. 【变式4】 下列四组函数中，f(x)，g(x)表示同一个函数的是(　　) A.f(x)＝x－1，g(x)＝()2 B.f(x)＝|x－3|，g(x)＝ C.f(x)＝，g(x)＝x＋2 D.f(x)＝，g(x)＝· 答案　B 解析　A项中g(x)＝()2＝x－1(x≥1)；C项中f(x)＝＝x＋2(x≠2)；D项中f(x)＝的x需满足(x－1)(x－3)≥0，即x≤1或x≥3，而g(x)＝·中x需满足即x≥3.故表示同一个函数的一组是B项.故选B项. 1.(多选)下列四组函数中，f(x)，g(x)表示同一个函数的是(　　) A.f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2 B.f(x)＝x，g(x)＝eq \r(3,x3) C.f(x)＝1，g(x)＝eq \f(x,x) D.f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝|x| 答案　BD 解析　对于A，C项，函数定义域不同；对于B，D项，两函数对应关系相同，定义域也相同，故表示同一个函数.故选BD项. 2.设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是(　　) 答案　B 解析　A项定义域为[－2,0]，D项值域不是[0,2]，C项对定义域中除2以外的任意一个x都有两个y与之对应，都不符合条件.故选B项. 3.函数y＝的值域为________. 解析　要使函数有意义，需满足≥0，即所以x≥－1且x≠1，故y≥0且y≠.故函数的值域为[0，)∪(，＋∞). 答案　[0，)∪(，＋∞) 4.已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2,3]，则函数y＝f(x＋2)的定义域为________. 解析　因为x∈[－2,3]，所以2x－3∈[－7,3]，即函数y＝f(x)的定义域为[－7,3]，令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函数y＝f(x＋2)的定义域为[－9,1]. 答案　[－9,1] $$