2.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式(二)（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 第二章 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 2.3.2　二次函数与一元二次方程、不等式(二) 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点　一元二次不等式恒成立问题 a＞0 Δ＜0 a＞0 Δ≤0 a＜0 Δ＜0 a＜0 Δ≤0 返回目录 数学　必修 第一册 k≥f(x)max k≤f(x)min 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　解分式不等式 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　一元二次不等式的恒成立问题 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　一元二次不等式的实际应用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式，提升数学运算的核心素养(重点).2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决，提升数学建模的核心素养(重点).3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法，强化数学运算的核心素养(难点). 1.一元二次不等式恒成立问题常用的两种思路 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(__________，,__________；))ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(__________，,__________；))ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(__________，,__________；))ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(__________，,__________.)) (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即k≥f(x)恒成立⇔_________________；k≤f(x)恒成立⇔__________________. 2.(1)当未说明不等式为一元二次不等式时，不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 (2)当未说明不等式为一元二次不等式时，不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 规律总结 解分式不等式时一般先把分式不等式转化为整式不等式，再用解整式不等式的方法求解.分式不等式转化为整式不等式的常见情形有：eq \f(fx,gx)>0⇔f(x)g(x)>0，eq \f(fx,gx)<0⇔f(x)g(x)<0，eq \f(fx,gx)≥0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0，)) eq \f(fx,gx)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fxgx≤0，,gx≠0.)) 【例题1】 求下列不等式的解集. (1)>0；　　　　　 (2)≥0； (3)≤2; (4)>3. 解析　(1)原不等式与(3＋x)(2－x)>0同解， 即与(x＋3)(x－2)<0同解， 故所求不等式的解集是. (2)原不等式与同解， 故所求不等式的解集是{x|x<－4或x≥1}. (3)原不等式即－2≤0， 故≤0，即≥0， 则原不等式与同解， 故所求不等式的解集为. (4)原不等式即－3>0，即>0，即>0， 则原不等式与x(3－4x)>0同解，即x(4x－3)<0， 故所求不等式的解集为. 【变式1】 解下列关于实数x的不等式. (1)≤0; (2)≥1； (3)>； (4)≤. 解析　(1)不等式与同解， 即 故所求不等式的解集为. (2)不等式即－1≥0，所以≥0， 所以≤0，这与同解， 故所求不等式的解集为. (3)不等式即－＞0，即>0，即>0，这与不等式(3x－1)(3x＋2)＞0同解.故所求不等式的解集为. (4)不等式即－≤0，与同解， 则即 这与同解， 故所求不等式的解集为{x|x<－1或0＜x＜1或x＞1}. 规律总结 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数.分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法. (2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定范围内全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定范围内全部在x轴下方. 【例题2】 已知不等式mx2－2x＋m－2<0. (1)若对于所有的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围； (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围. 解析　(1)对所有实数x，不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方.当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立； 当m≠0时，由二次函数的图象得解得m<1－.综上，m的取值范围是{m|m＜1－}. (2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋1>0知，g(m)在－2≤m≤2上单调递增，则只需g(2)<0即可，即2x2＋2－2x－2<0，解得0<x<1.故x的取值范围是{x|0＜x＜1}. 【变式2】 当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是全体实数？ 解析　①当a2－1＝0，即a＝±1时， 若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立； 若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不符合题目要求，舍去. ②当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是解得－<a<1. 综上所述，当－＜a≤1时，原不等式的解集是全体实数. 规律总结 解不等式应用题的步骤 (1)读：阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)建：将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型； (3)解：解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义； (4)答：回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果. 【例题3】 某企业上年度的年利润为200万元，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，投入成本增加的比例为x(0<x<1).现在有甲、乙两种方案可供选择，通过市场调查后预测，若选用甲方案，则年利润y万元与投入成本增加的比例x的函数关系式为y＝f(x)＝－20x2＋60x＋200(0<x<1)；若选用乙方案，则y与x的函数关系式为y＝g(x)＝－30x2＋65x＋200(0<x<1).试根据投入成本增加的比例x，讨论如何选择最适合的方案. 解析　f(x)－g(x)＝(－20x2＋60x＋200)－(－30x2＋65x＋200)＝10x2－5x(0＜x＜1). 由10x2－5x≥0，解得x≥或x≤0(舍去). 故当投入成本增加的比例x∈时，选择乙方案； 当投入成本增加的比例x∈时，选择甲方案； 当投入成本增加的比例x＝时，选择甲或乙方案都可以. 【变式3】 某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15 000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？(答案用集合表示) 解析　设每床每晚的租金提高10的n倍，即为(50＋10n)元， 出租的床位会减少10的n倍张，即为(200－10n)张， 由题意可得该旅店每晚的收入为(50＋10n)·(200－10n)> 15 000， 整理可得n2－15n＋50<0，解得5<n<10， 因为n∈Z，所以n可取6,7,8,9，此时每个床位的定价50＋10n即为110,120,130,140，所以每个床位定价的取值范围是{110,120,130,140}. 1.(多选)若不等式x2＋bx＋1≥0对任意实数x都成立，则b的值可以是(　　) A.－2 B.0 C.1 D.4 答案　ABC 解析　由题意可得b2－4≤0，所以－2≤b≤2.故选ABC项. 2.不等式≤0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由不等式≤0得解得－<x≤1，所以不等式的解集为.故选A项. 3.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝500＋30x元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是(　　) A.20≤x≤30 B.20≤x≤45 C.15≤x≤30 D.15≤x≤45 答案　B 解析　设该厂每天获得的利润为y元，则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80).由题意，知－2x2＋130x－500≥1 300，即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.故选B项. 4.已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意m≤x≤m＋1，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是__________. 解析　要满足f(x)＝x2＋mx－1<0对于任意m≤x≤m＋1恒成立，只需即解得－<m<0.故实数m的取值范围是. 答案　 $$