2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(一)（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 第二章 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 2.3.1　二次函数与一元二次方程、不等式(一) 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　一元二次不等式的定义 一个 2 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系 返回目录 数学　必修 第一册 {x|x<x1或x>x2} R {x|x1<x<x2} 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　解简单的一元二次不等式 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　解含参数的一元二次不等式 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　三个“二次”之间的关系 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，培养数学运算的核心素养(重点).3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培养直观想象和逻辑推理的核心素养(难点). 一般地，把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 练习：(多选)下列说法一定正确的是(　　) A.不等式ax2＋x－1<0(a为常数)是一元二次不等式 B.不等式x2－5y<0不是一元二次不等式 C.不等式－x2－2x＋3>0是一元二次不等式 D.不等式x2>0不是一元二次不等式 答案　BC 解析　A项，当a＝0时，不等式ax2＋x－1<0是一元一次不等式，故错误；B项，不等式中含有x和y两个未知数，所以不是一元二次不等式，故正确；C项，不等式－x2－2x＋3>0符合一元二次不等式的概念，故正确；D项，不等式x2>0符合一元二次不等式的概念，故错误.故选BC项. Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 两个不相等的 实数根x1，x2 两个相等的 实数根x1，x2 没有 实数根 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 __________________ ______________ ______ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 ________________ ______ ______ ∅ ∅ 思考：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集何时为实数集R？何时为空集？ 提示　当a>0，且Δ<0时，因为二次函数的图象总在x轴的上方，所以此时的解集为R；而当a<0，且Δ≤0时，因为二次函数的图象开口向下，且与x轴相切于一点或无交点，所以此时的解集为空集. 规律总结 求简单一元二次不等式解集的一般步骤 (1)化一元二次不等式为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0). (2)求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，或根据判别式说明方程没有根. (3)根据根的情况和二次函数的图象写出不等式的解集. 当一元二次不等式为ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0时，要注意解集的端点. 【例题1】 求下列一元二次不等式的解集. (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6； (4)－x2＋6x－9>0. 解析　(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.因为x2－5x－6＝0的两根是x1＝－1和x2＝6，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}. (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，则x＝，故4x2－4x＋1≤0的解集为. (3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，而x2－7x＋6＝0的两个根是x1＝1和x2＝6.所以不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1<x<6}. (4)原不等式可化为x2－6x＋9<0，即(x－3)2<0，所以原不等式的解集为∅. 【变式1】 求下列不等式的解集. (1)－2x2＋3x＋2<0； (2)－2x2＋x－6<0； (3)9x2＋6x＋1>0； (4)x2＋25≤10x. 解析　(1)原不等式可化为2x2－3x－2>0， 因为2x2－3x－2＝0的两根是x1＝－和x2＝2， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为2x2－x＋6>0， 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，且与x轴无交点.所以不等式的解集为R. (3)因为9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2>0， 所以原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－10x＋25≤0，即(x－5)2≤0，所以原不等式的解集为{x|x＝5}. 规律总结 解含参数的一元二次不等式与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的应用.其讨论标准是： (1)对二次项系数进行大于零、小于零、等于零的分类讨论； (2)当二次项系数不等于零时，再对判别式进行大于零、小于零、等于零的分类讨论； (3)当判别式大于零时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集. 【例题2】 解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0(a∈R). 解析　(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}. (2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－. ①当a<－时，解不等式得－<x<2，即原不等式的解集为； ②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为∅； ③当－<a<0时，解不等式得2<x<－，即原不等式的解集为； ④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，即原不等式的解集为. 【变式2】 解关于实数x的不等式x2－x＋a<0(a∈R). 解析　由于Δ＝1－4a，则当a≥时，原不等式无解；当a<时，可解得<x<； 综上可知，当a≥时，解集为空集； 当a<时，解集为. 高考拓展 三个“二次”之间的关系 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数合称为“三个‘二次’”，它们之间有着某种特定的联系，这种联系使得我们可以对它们进行相互联想，从多个角度来分析和思考有关的问题.具体关系如图所示. 【例题3】 若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集. 解析　由ax2＋bx＋c≥0的解集是，知a<0.又×2＝<0，则c>0. 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， 则－＝，即＝－. 又＝－，则b＝－a，c＝－a. 待解不等式变为x2＋x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0. 又因为a<0，所以2x2＋5x－3<0. 所以所求不等式的解集为. 【变式3】 (1)已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1＜x＜b}，则a，b的值等于(　　) A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1 C.a＝－1，b＝2 D.a＝－2，b＝1 (2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集. 解析　(1)因为不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，所以方程ax2＋3x－2＝0的两个根分别为1和b，根据根与系数的关系，得1＋b＝－，b＝－，所以a＝－1，b＝2.故选C项. 答案　C (2)因为x2＋px＋q＜0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系可得解得所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3，即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}. 1.一元二次不等式x2－3x－4<0的解集为(　　) A.{x|－1＜x＜4} B.{x|－4＜x＜1} C.{x|1＜x＜4} D.{x|－4＜x＜－1} 答案　A 解析　M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x－4)·(x＋1)＜0}＝{x|－1<x<4}.故选A项. 2.若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，则a＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　依题意知－7，－1是方程ax2＋8ax＋21＝0的两根，且a＞0，则有解得a＝3.故选C项. 3.(多选)下列不等式中解集为R的是(　　) A.－x2＋2x＋1≥0 B.x2－2x＋>0 C.x2＋6x＋10>0 D.2x2－3x＋4＞0 答案　CD 解析　对于A项，由于不等式中二次项的系数为负，所以解集不可能为R；对于B项，不等式的判别式为Δ＝20－4＞0，所以解集不可能为R；对于C项，不等式的判别式为Δ＝36－40＝－4＜0，所以不等式的解集为R；对于D项，不等式的判别式Δ＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0，所以不等式的解集为R.故选CD项. 4.如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值集合为(　　) A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4} 答案　D 解析　当a＝0时，有1<0，故A＝∅；当a≠0时，若A＝∅，则有得0<a≤4.综上，a的取值集合为{a|0≤a≤4}.故选D项. $$