2.2 基本不等式（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 第二章 2.2　基本不等式 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　基本不等式 ≥ a＝b 正数 a＝b 返回目录 数学　必修 第一册 两个正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　应用基本不等式求最值 x＝y x＝y 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　利用基本不等式证明不等式和比较大小 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　利用基本不等式求最值 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　利用基本不等式求参数 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究四　基本不等式的实际应用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.掌握基本不等式≤(a，b≥0)，发展数学抽象和直观想象的核心素养(重点).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，发展逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养(难点). 1.重要不等式：对于任意实数a，b，都有a2＋b2______2ab，当且仅当__________时，等号成立. 2.基本不等式：对于任意________a，b，都有__________，当且仅当__________时，等号成立. ≤ 3.几何平均数与算术平均数：对于两个正数a，b，叫做　a与b的几何平均数，叫做a与b的算术平均数. 4.用文字语言表述基本不等式≤为“__________ ____________________________________”. 如果x，y都是正数，那么 (1)如果积xy等于定值P，那么当__________时，和x＋y有______________； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当__________时，积xy有 ____________. 最小值2 最大值 思考：使用基本不等式求最值时需要注意的三个条件是什么？ 提示　(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，即a>0，b>0. (2)二定：化不等式的一边为定值. (3)三相等：必须存在“＝”成立的条件. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. (1)基本不等式中的a，b可以是任意值为正数的代数式.(　　) (2)两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值.(　　) (3)在重要不等式中，“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的等价条件.(　　) (4)多次使用基本不等式时，等号一定可以取到.(　　) 提示　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 误区防错 利用基本不等式证明不等式和比较大小时应注意的几点 (1)注意基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)成立的条件是a>0，b>0. (2)如果式子不具备基本不等式的特点，则需通过加、减项的方法拼凑成可用基本不等式的形式. (3)利用基本不等式比较大小时，要注意观察其形式(和或积). (4)多次使用基本不等式时，要注意等号能否同时成立. (5)灵活应用基本不等式的变形形式，注重基本不等式的变形应用.基本不等式的常见变形有：①a＋b≥2(a>0，b>0)；②ab≤；③a＋≥2(a>0)；④＋≥2(a，b同号). 【例题1】 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：·≥9. 证明　因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤2＝，于是≥4，≥8，所以·＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9，当且仅当a＝b＝时，等号成立. 【变式1】 已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8. 证明　因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥>0. 同理，－1≥>0，－1≥>0. 所以≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 【例题2】 已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的大小. 解析　因为a2＋b2≥2ab， 所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2， 所以≥(a＋b). 同理，≥(b＋c)，≥(c＋a). 所以＋＋≥·[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c). 故＋＋≥ (a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 【变式2】 若a＞0，b＞0，设A＝，B＝，C＝，D＝，则A，B，C，D的大小关系为____________. 解析　因为a＞0，b＞0，所以≥，当且仅当a＝b时，等号成立. 因为A－B＝－＝－＝－， 且a2＋b2≥2ab＞0，所以A－B≥0， 所以≥，当且仅当a＝b时，等号成立. 因为＝，且a＞0，b＞0，所以a＋b≥2. 所以0＜≤，所以≤＝， 所以≥，当且仅当a＝b时，等号成立. 所以≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立.所以A≥B≥C≥D. 答案　A≥B≥C≥D 规律总结 基本不等式在求最值中的使用方法 (1)拆项、添项、配凑等方法常用在求分式型函数的最值中. (2)常值代换.这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值”和“已知eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两种类型. (3)构造不等式.当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围. 【例题3】 (1)已知t>0，求函数y＝t＋－4的最小值. (2)已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，求xy的最大值. (3)已知a>0，b>0，且ab＝1，求＋＋的最小值. 解析　(1)依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时，等号成立，即函数y＝t＋－4(t>0)的最小值是－2. (2)依题意，因为x>0，y>0，＋＝1，所以＋≥2＝，当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时，等号成立　,　)，即≤1，解得xy≤3，所以xy的最大值为3. (3)依题意得＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当即时，等号成立.因此＋＋的最小值为4. 【变式3】 (1)求函数y＝x＋(x<0)的最大值. (2)求函数y＝＋x(x>3)的最小值. (3)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，求＋的最小值. 解析　(1)因为x<0，所以－x>0，所以y＝x＋＝ －≤－2＝－，当且仅当x＝－时，等号成立， 所以ymax＝－. (2)因为x>3，所以x－3>0， 所以y＝＋x＝＋(x－3)＋3≥5，当且仅当x－3＝，即x＝4时，等号成立，所以ymin＝5. (3)由a＋b＝＋＝，得ab＝1， 则＋≥2＝2，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，所以＋的最小值为2. 【例题4】 (1)已知正数x，y满足＋＝1，求x＋2y的最小值. (2)已知x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，求＋的最小值. 解析　(1)因为x>0，y>0，＋＝1， 所以x＋2y＝·(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18. (2)因为x＞0，y＞0，x＋4y＝1，所以＋＝＋＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，故＋的最小值为9. 【变式4】 (1)设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________. (2)若a是正实数，2a2＋3b2＝10，则a的最大值等于________. 解析　(1)(＋)2＝a＋b＋4＋2·≤9＋2·＝9＋a＋b＋4＝18，所以＋≤3，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝，b＝时，等号成立，所以＋的最大值为3. (2)由基本不等式得a＝(a)(·) ≤·＝＝＝，当且仅当a＝·，即a＝2，b2＝时，等号成立. 答案　(1)3　(2) 规律总结 利用基本不等式求字母或式子的取值范围分两种情况. (1)若已知等式，则要用基本不等式进行放缩，得出不等式，解该不等式. (2)若已知不等式，则要先将参数分离出来，转化为求函数的最值(恒成立或存在性)问题.若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min；若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max.若存在x使a≤f(x)成立，则a≤f(x)max；若存在x使a≥f(x)成立，则a≥f(x)min.求最值时可能用到基本不等式. 【例题5】 设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围. 解析　由a>b>c，知a－b>0，a－c>0，b－c>0， 所以原不等式等价于＋≥m. 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可. 所以＋＝＋ ＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立.所以m≤4，即m的取值范围为{m|m≤4}. 【变式5】 函数g(x)＝x2＋(m＋1)x＋m，若存在0≤x≤使得不等式g(x)≤－1成立，求实数m的取值范围. 解析　存在0≤x≤使得不等式x2＋(m＋1)·x＋m≤－1成立，即存在0≤x≤使得不等式－m≥成立，所以－m≥min， 因为＝x＋＝x＋1＋－1≥1， 当且仅当x＋1＝1，即x＝0时，等号成立，所以－m≥1，解得m≤－1.故实数m的取值范围为{m|m≤－1}. 规律总结 应用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)仔细阅读题目，透彻理解题意. (2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数，并确定使函数有意义的自变量的取值范围. (3)在自变量的取值范围内应用基本不等式求出函数的最值，当函数不具备使用基本不等式求最值的条件时，可考虑用函数的单调性. (4)还原实际问题，作出解答. 【例题6】 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园，设菜园的长为x m，宽为y m. (1)若菜园的面积为162 m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为60 m，求＋的最小值. 解析　(1)由已知可得xy＝162，而篱笆总长为x＋2y. 又x＋2y≥2＝2＝36，当且仅当x＝2y，即x＝18，y＝9时，等号成立， 所以菜园的长x为18 m，宽y为9 m时，可使所用篱笆总长最小. (2)由题意知x＋2y＝60. 因为(x＋2y) ＝1＋＋＋4≥5＋2 ＝5＋2×2＝9， 当且仅当x＝y＝20时，等号成立， 所以＋≥＝，当且仅当x＝y＝20时，等号成立. 所以＋的最小值为. 【变式6】 某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳的水费为φ(x)＝(x>0)，记y为该单位安装这种净水设备的费用与安装设备后每年向自来水公司缴纳的水费之和. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)求x为多少时，y有最小值，并求出y的最小值. 解析　(1)由题意可得，y关于x的函数表达式为y＝x＋(x>0). (2)因为y＝x＋＝(x＋10)＋－2≥ 2－2＝4， 当且仅当(x＋10)＝，即x＝5时，等号成立， 所以当x＝5时，y有最小值4. 1.(多选)设a，b是正实数，则以下不等式恒成立的是(　　) A.eq \r(ab)＞eq \f(2ab,a＋b) B.a＞|a－b|－b C.a2＋b2＞4ab－3b2 D.ab＋eq \f(2,ab)＞2 答案　BD 解析　由题意知a＞0，b＞0.A项中，＞可化为a＋b＞2，缺少两者相等的情况；B项中，因为ab＞0，所以(a＋b)2＞|a－b|2，所以a＋b＞|a－b|成立，所以a＞|a－b|－b；C项中，a2＋b2＞4ab－3b2可化为a2＋4b2＞4ab，缺少两者相等的情况；D项中，ab＋≥2＝2＞2.故选BD项. 2.若x，y是正实数，则(x＋y)的最小值为(　　) A.6 B.9 C.12 D.15 答案　B 解析　因为x，y为正实数，所以(x＋y)·＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立.故选B项. 3.某工厂第一年产量为A，第二年产量的增长率为a，第三年产量的增长率为b，这两年产量的平均增长率为x，则(　　) A.x＝　　　　 B.x≤ C.x＞　　　　 D.x≥ 答案　B 解析　因为这两年产量的平均增长率为x，所以A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，a＞0，b＞0.所以1＋x＝≤＝1＋.所以x≤，当且仅当1＋a＝1＋b，即a＝b时，等号成立.故选B项. 4.若－4＜x＜1，则f(x)＝(　　) A.有最小值1 B.有最大值1 C.有最小值－1 D.有最大值－1 答案　D 解析　易知f(x)＝＝，因为－4＜x＜1，所以x－1＜0，所以－(x－1)＞0，所以f(x)＝－ ≤－1，当且仅当x－1＝，即x＝0时，等号成立.故选D项. $$