2.1 等式性质与不等式性质（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 第二章 2.1　等式性质与不等式性质 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　不等关系与不等式 ≠ ＞ ＜ ≥ ≤ 不等号 a＞b或a＝b a＜b或a＝b 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　实数的大小比较 a＞b a－b＜0 a＝b 返回目录 数学　必修 第一册 要点三　等式和不等式的基本性质 返回目录 数学　必修 第一册 b<a a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd an>bn>0(n∈N，n≥2) 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　用不等式(组)表示不等关系 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　用作差法比较大小 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　利用不等式的性质证明简单不等式 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究四　利用不等式的性质求取值范围 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，培养数学抽象的核心素养.2.掌握不等式的性质，发展逻辑推理和数学运算的核心素养(重点). 1.用数学符号“______”“______”“______”“______” “______”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系. 2.含有__________的式子，叫做不等式. 3.a≥b即为_______________；a≤b即为__________________. 实数的大小比较常用作差法，其理论依据是a－b＞0⇔__________；________________⇔a＜b；a－b＝0⇔__________. 1.等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c). 2.不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔__________. (2)传递性：a>b，b>c⇒__________. (3)可加性：a>b⇒__________________. (4)可乘性：a>b，c>0⇒______________；a>b，c<0⇒______________. (5)加法法则：a>b，c>d⇒__________________. (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒______________. (7)乘方法则：a>b>0⇒________________________________. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. (1)两个同向不等式可以同向相加，所以两个同向不等式能够同向相减.(　　) (2)在利用不等式的性质时，一定要注意性质的前提条件是否具备.(　　) (3)若a≤b，b＜c，则a≤c.(　　) (4)若a＞b，则ac2＞bc2.(　　) 提示　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 规律总结 (1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③多个不等关系用不等式组表示. (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于等于、 至少、不低于 小于等于、 至多、不超过 符号 语言 ＞ ＜ ≥ ≤ (3)利用不等式表示不等关系时应注意的两点 ①必须是具有相同性质、可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. ②在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. 【例题1】 下列说法正确的是(　　) A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B.某变量y不超过a可表示为“y≤a” C.某变量x至少为a可表示为“x>a” D.小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，则小明比小华矮可表示为“x>y” 答案　B 解析　对于A项，某人月收入x不高于2 000元可表示为x≤ 2 000，错误；对于B项，某变量y不超过a可表示为y≤a，正确；对于C项，某变量x至少为a可表示为x≥a，错误；对于D项，小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，小明比小华矮可表示为x<y，错误.故选B项. 【变式1】 有粮食和石油两种物资，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船可运输粮食300 t，石油250 t，每架飞机可运输粮食150 t，石油100 t.现在要在一天内至少运输2 000 t粮食和1 500 t石油.写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式组. 解析　设需安排x艘轮船和y架飞机， 则即 规律总结 作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤 第一步：作差并变形，其目标应是容易判断差的符号.变形有两种情形：①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘；②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断. 第二步：判断差值与零的大小关系. 第三步：得出结论. 【例题2】 已知x<－1，比较x3＋1与－2x2－2x的大小. 解析　x3＋1－(－2x2－2x)＝x3＋2x2＋2x＋1 ＝(x3＋x2)＋(x2＋2x＋1) ＝(x＋1)(x2＋x＋1) ＝(x＋1). 因为x<－1，所以x＋1<0. 又因为2＋>0， 所以(x＋1)<0， 所以x3＋1<－2x2－2x. 【变式2】 已知x∈R，m∈R，比较x2＋x＋1与－2m2＋2mx的大小. 解析　因为x2＋x＋1－(－2m2＋2mx) ＝x2－(2m－1)x＋2m2＋1 ＝2－(2m－1)2＋2m2＋1 ＝2＋m2＋m＋ ＝2＋2＋>0， 所以x2＋x＋1>－2m2＋2mx. 误区防错 利用不等式的性质证明简单不等式的方法及注意点 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明. (3)注意点：①记准、记熟不等式的基本性质；②注意不等式成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则；③为了说明关于不等式的结论不成立，特殊值法也是非常有效的方法. 【例题3】 判断下列命题是否正确，并说明理由. (1)若ac2>bc2，则a>b； (2)若a<b<0，则>； (3)若a>b，c<d，cd≠0，则>； (4)若a<b<0，则>. 解析　(1)正确.因为ac2>bc2，所以c2≠0且c2>0，所以a>b. (2)错误.因为a<b<0，即－a>－b>0，所以－>－>0.由可得>. (3)错误.若a>b>0，c<0，d>0，显然有<. (4)正确.因为a<b<0，所以ab>0，所以>0. 所以a·<b·，所以<，即>. 【变式3】 判断下列命题是否成立.若不成立，适当增加条件使下列命题成立. (1)若a>b，则ac≤bc； (2)若ac2>bc2，则a2>b2； (3)若a>b，c>d，则>. 解析　(1)不成立.原命题改为“若a>b且c≤0，则ac≤bc”，即增加条件“c≤0”. (2)不成立.由ac2>bc2可得a>b，但只有b≥0时，才有a2>b2，即增加条件“b≥0”. (3)不成立.>成立的条件有多种(如a>b>0，c>d>0)，因此可增加条件“b>0，d>0”. 【例题4】 若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明　因为c<d<0，所以－c>－d>0， 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0， 将上式两边同乘以，得<. 又因为e<0，所以>. 【变式4】 已知a>b>0，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc. 证明　因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc. 规律总结 利用不等式的性质求取值范围是一类常见的问题，对于这类问题要注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们在解题时务必小心谨慎.先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围，这是避免错误的一个有效途径. 【例题5】 设f(x)＝ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤3,1≤f(1)≤5，求f(－2)的取值范围. 解析　方法一　f(－1)＝a－b， f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b， 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)， 则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b， 于是解得则f(－2)＝3f(－1)＋f(1). 因为－1≤f(－1)≤3，所以－3≤3f(－1)≤9. 又因为1≤f(1)≤5，所以－2≤3f(－1)＋f(1)≤14. 故f(－2)的取值范围为－2≤f(－2)≤14. 方法二　由得 则f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1). 因为－1≤f(－1)≤3，所以－3≤3f(－1)≤9， 又因为1≤f(1)≤5，所以－2≤3f(－1)＋f(1)≤14. 故－2≤f(－2)≤14. 所以f(－2)的取值范围为－2≤f(－2)≤14. 【变式5】 设2<a<3，－4<b<－3，求a＋b，ab，的取值范围. 解析　因为2<a<3，－4<b<－3，所以－2<a＋b<0.由－4<b<－3，知3<－b<4，所以6<a(－b)<12，所以－12<ab<－6.由3< －b<4，知9<(－b)2<16，又<<，所以3<<8. 综上，a＋b的取值范围为－2＜a＋b＜0，ab的取值范围为 －12＜ab＜－6，的取值范围为3＜＜8. 1.雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是(　　) A.4.5t<28 000 B.t<28 000 C.4.5t>28 000 D.t>28 000 答案　A 解析　因为雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高，所以4.5t<28 000.故选A项. 2.已知实数a＞b，M＝a2－ab，N＝ba－b2，则M与N的大小关系是(　　) A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.无法确定 答案　A 解析　因为M－N＝(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a＞b，所以(a－b)2＞0，即M＞N.故选A项. 3.(多选)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A.ac＜bd B.ac＞bd C.> D.< 答案　AD 解析　由c<d<0得－>－>0，dc＞0，又a>b>0，故由不等式性质，得－>－>0，所以<.所以－＜0，即＜0，所以ac－bd＜0，即ac＜bd.故选AD项. 4.已知－≤α<β≤，则的取值范围是________，的取值范围是________. 解析　因为－≤α<β≤，所以－≤<，－<≤.两式相加得－<<.又因为－<≤，所以－≤－<，所以－≤<.又α<β，所以<0，所以－≤<0. 答案　－＜＜　－≤＜0 $$