1.5 全称量词与存在量词（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

集合与常用逻辑用语 第一章 1.5　全称量词与存在量词 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　全称量词与全称量词命题 所有的 任意一个 ∀ 全称量词 ∀x∈M，p(x) 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　存在量词与存在量词命题 存在一个 至少有一个 ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 返回目录 数学　必修 第一册 要点三　全称量词命题和存在量词命题的否定 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　全称量词命题和存在量词命题的否定 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　全称量词命题和存在量词命题中的参数问题 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，强化数学抽象的核心素养.2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，强化逻辑推理的核心素养(易混点).3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定，强化逻辑推理的核心素养(易混点). 1.全称量词 短语“__________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示.常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. 2.全称量词命题 (1)定义：含有____________的命题，叫做全称量词命题. (2)符号表示：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为______________________. 1.存在量词 短语“____________”“______________”在逻辑中叫做存在量词，并用符号“______”表示.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等. 2.存在量词命题 (1)定义：含有____________的命题，叫做存在量词命题. (2)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为______________________. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. (1)一个全称量词命题只能有一个变量.(　　) (2)不含有全称量词的命题一定是存在量词命题.(　　) (3)一个存在量词命题可以包含多个变量.(　　) (4)全称量词命题和存在量词命题的否定只需否定结论即可.(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 规律总结 (1)有些全称量词命题和存在量词命题没有定义中的量词，需要自己“翻译”，发现其中的量词，才可以判断其是全称量词命题还是存在量词命题，进而再判断其真假. (2)判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. (3)判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素不存在，那么这个存在量词命题是假命题. 【例题1】 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)存在一组m，n的值，使m－n＝1； (4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}； (5)对任意实数x，有3x＋2＞0. 解析　(1)命题中含有“∀”，所以是全称量词命题.因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题. (2)命题中含有存在量词“存在一个”，所以是存在量词命题.因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题. (3)命题中含有存在量词“存在一组”，所以是存在量词命题.当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题. (4)命题中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题.存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题. (5)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称量词命题.当x＝－1时，3x＋2＝－1＜0，所以该命题是假命题. 【变式1】 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)∀x∈R，x2＋2>0； (2)∀x∈N，x4≥1； (3)∃x∈R，x3<1. 解析　(1)命题中含有“∀”，所以是全称量词命题.由于∀x∈R，都有x2≥0，所以x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.所以“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题. (2)命题中含有“∀”，所以是全称量词命题.由于0∈N，当x＝0时，x4＝0≥1不成立，所以“∀x∈N，x4≥1”是假命题. (3)命题中含有“∃”，所以是存在量词命题.由于0∈R，当x＝0时，x3＝0<1成立，所以“∃x∈R，x3<1”是真命题. 规律总结 (1)一般地，写出全称量词命题和存在量词命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论. (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定. (3)全称(存在)量词命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 【例题2】 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)每一个素数都是奇数； (2)任意偶数的平方还是偶数； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形. 解析　(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此该命题的否定：存在一个素数不是奇数，是真命题. (2)由于全称量词“任意”的否定为“存在一个”，因此该命题的否定：存在一个偶数的平方不是偶数，是假命题. (3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此该命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题. (4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此该命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题. 【变式2】 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)所有的正方形都是矩形； (3)∃x∈R，x2＋2x＋8≤0； (4)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解析　(1)是全称量词命题，该命题的否定：∃x∈R，x2－x＋<0.因为对于任意的x，x2－x＋＝2≥0，所以这是一个假命题. (2)是全称量词命题，该命题的否定：存在一个正方形，它不是矩形. 因为正方形是特殊的矩形，所以这是一个假命题. (3)是存在量词命题，该命题的否定：∀x∈R，x2＋2x＋8>0. 因为对于任意的x，x2＋2x＋8＝(x＋1)2＋7≥7>0， 所以这是一个真命题. (4)是存在量词命题，该命题的否定：∀x∈R，x3＋1≠0. 因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以这是一个假命题. 解题技巧 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax). (3)若全称量词命题为假命题，通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题解决，同理，若存在量词命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题解决. 【例题3】 已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若至少存在一个实数x，使不等式m－f(x)＞0成立，求实数m的取值范围. 解析　(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可.故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时m的取值范围为{m|m＞－4}. (2)不等式m－f(x)＞0，可化为m＞f(x)，若至少存在一个实数x使不等式m＞f(x)成立，只需m＞f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m＞4. 所以所求实数m的取值范围为{m|m＞4}. 【变式3】 已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围. 解析　易知全称量词命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为“存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”. 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题. 由于函数f(x)＝x2＋ax＋1的图象开口向上，借助二次函数的图象(图略)易知，Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.所以实数a的取值范围是{a|a＜－2或a＞2}. 1.将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　　) A.∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 B.∃a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 C.∀a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 D.∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 答案　D 解析　由于所给的等式对任意a，b∈R均成立，所以D项正确.故选D项. 2.全称量词命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　) A.所有被5整除的整数都不是奇数 B.所有奇数都不能被5整除 C.存在一个被5整除的整数不是奇数 D.存在一个奇数不能被5整除 答案　C 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题，故C项正确.故选C项. 3.命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B.∀x∈R，x3－x2＋1≤0 C.∃x∈R，x3－x2＋1＞0 D.∀x∈R，x3－x2＋1＞0 答案　D 解析　A项中对量词处理不当，且没有否定结论；B项中没有否定结论；C项中对量词处理不当；D项正确.故选D项. 4.(多选)以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x，使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在正数x，使＞2 答案　BD 解析　A项中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B项中，x＝0时，x2＝0，所以B项既是存在量词命题又是真命题；C项中，因为＋(－)＝0，所以C项是假命题；D项中，当x＝时，＝3＞2，所以D项既是存在量词命题又是真命题.故选BD项. $$