1.4 充分条件与必要条件（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

集合与常用逻辑用语 第一章 1.4　充分条件与必要条件 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　充分条件与必要条件的关系 ⇒ 充分 必要 充分 必要 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 p⇔q 充要条件 p⇔q 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　充分、必要、充要条件的判断 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　充要条件的证明 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　充分、必要、充要条件的探究 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究四　利用充分、必要条件求参数 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养.3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养. 1.充分条件与必要条件 (1)定义 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出 关系 p______q p________q 条件 关系 p是q的________条件，q是p的________条件 p不是q的________条件，q不是p的________条件 (2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 2.充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”(将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题)均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作__________，此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为____________.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果__________，那么p与q互为充要条件. 3.命题按条件和结论的充分性、必要性的分类 (1)充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p. (2)充分不必要条件，即p⇒q且qp. (3)必要不充分条件，即pq且q⇒p. (4)既不充分也不必要条件，即pq且qp. 练习：(1)用符号“⇒”与“”填空. ①|x|>1________x>1； ②a，b都是偶数________a＋b是偶数. (2)若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？举例说明. 提示　(1)①　②⇒ (2)不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等. 设p对应的集合为A，q对应的集合为B. (1)若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件. (2)若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件. (3)若A＝B，则p，q互为充要条件. (4)若A不包含于B且B不包含于A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. (1)若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件.(　　) (2)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是不同的逻辑关系.(　　) (3)“若p，则q”与“p⇒q”是等价的.(　　) (4)若p是q的充要条件，q是s的充要条件，则p是s的充要条件.(　　) 提示　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 解题技巧 充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法：①分清条件和结论，分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式，判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③根据推式及条件下结论. (2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断. (3)传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出推式图，根据图中推式的传递性进行判断. (4)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题. 【例题1】 判断α是β的什么条件. (1)α：＜1，β：a＞1； (2)α：x≤0，β：x＜1； (3)α：A∩B＝A，β：A∪B＝B； (4)α：x＞y，β：x2＞y2. 解析　(1)取a＝－1满足＜1，但得不到a＞1，所以αβ；利用不等式的性质，对a＞1两边同除以a，不等号方向不改变，所以β⇒α.所以α是β的必要不充分条件. (2)因为x＜1，可取x＝，而＞0，不满足≤0，所以α⇒β，βα.所以α是β的充分不必要条件. (3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒A∪B＝B，所以α⇒β；而A∪B＝B⇒A⊆B⇒A∩B＝A，所以β⇒α.所以α是β的充要条件. (4)若α为2＞－3，却没有4＞9，所以αβ；若β为(－3)2＞22，却没有－3＞2，所以βα.所以α是β的既不充分也不必要条件. 【变式1】 设a，b∈R，则“a＋b＞4”是“a＞2且b＞2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若a＞2且b＞2，则a＋b＞4，但当a＝4，b＝1时也有a＋b＞4，故“a＋b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件.故选B项. 解题技巧 (1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明. ①充分性：把p当已知条件，结合命题前提条件，推出q； ②必要性：把q当已知条件，结合命题前提条件，推出p. 解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证充分性还是先证必要性则无硬性要求. (2)在充要条件的证明过程中，若能保证每一步的推理都具有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性. 【例题2】 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件. 证明　①充分性：因为a＋b＝1，所以b＝1－a， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0， 即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ②必要性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 所以(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， 所以(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. 因为ab≠0，所以a≠0且b≠0， 所以a2－ab＋b2≠0， 所以a＋b－1＝0，所以a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件. 【变式2】 证明：ax2＋bx＋c＝0有一根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明　必要性：ax2＋bx＋c＝0有一根是1，则x＝1代入方程得a＋b＋c＝0. 充分性：a＋b＋c＝0，则a×12＋b×1＋c＝0，所以ax2＋bx＋c＝0有一根是1. 综上所述，ax2＋bx＋c＝0有一根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 解题技巧 寻求充分、必要、充要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p. (2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p. (3)寻求q的充要条件p有两种方法：一是从上述两方面入手，得到结论的一致性，即充要条件；二是将原命题等价转化，获得充要条件. 【例题3】 设非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为____________；A⊆(A∩B)的一个充分不必要条件可以为____________. 解析　由题得A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}. 由题得A≠∅，则A⊆B⇔解得6≤a≤9. 综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为6≤a≤9；A⊆(A∩B)的一个充分不必要条件可以为6<a≤9. 答案　6≤a≤9　6<a≤9(答案不唯一) 【变式3】 设p：－2＜m＜0,0＜n＜1，q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件. 解析　方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根的充要条件是⇔所以q⇒p； 但pq，如m＝－1，n＝，此时p成立，但m2－4n＜0，所以q不成立，因此pq.所以p是q的必要不充分条件. 解题技巧 利用充分条件和必要条件求参数，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的对应关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，同时要注意参数范围临界值的取舍. 【例题4】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 解析　因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q p，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}的真子集， 所以或解得m≥9或m>9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}. 【变式4】 (1)若例题4中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. (2)若命题p：x2＋x－6＝0是命题q：ax＋1＝0的必要不充分条件，求实数a的值. 解析　(1)若p是q的充要条件，则此方程组无解，故不存在实数m，使得p是q的充要条件. (2)设命题p对应的集合为A＝{2，－3}，命题q对应的集合为B＝{x|ax＋1＝0}. 因为p是q的必要不充分条件，所以BA. ①当B＝∅时，a＝0； ②当B≠∅时，a≠0，则B＝.因为BA，所以－＝2或－＝－3，所以a＝－或. 综上可知，a＝0或a＝－或a＝. 1.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为A⊆B⇔a＝2或a＝3，所以a＝3⇒A⊆B，而A⊆Ba＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件.故选A项. 2.(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则(　　) A.p是q的既不充分也不必要条件 B.p是s的充分条件 C.r是q的必要不充分条件 D.s是q的充要条件 答案　BD 解析　因为p，q都是r的充分条件，所以p⇒r，q⇒r；因为s是r的必要条件，所以r⇒s；因为q是s的必要条件，所以s⇒q.所以p⇒r⇒s⇒q，q⇒r⇒s⇒q，所以q⇔r⇔s，所以p是s的充分条件，r和s都是q的充要条件，p是q的充分条件.故选BD项. 3.试从①x＝1；②x＝－1；③(x－1)(x＋1)(x－3)＝0中选择合适的填空. (1)x2＝1是________的充分条件； (2)x2＝1是________的必要条件. 解析　方程③的解是x＝1或x＝－1或x＝3，因此x2＝1⇒③，①⇒x2＝1，②⇒x2＝1，故(1)中填③，(2)中填①或②. 答案　(1)③　(2)①或② 4.已知α：－2≤x≤5，β：m＋1≤x≤2m－1(m≥2)，若α是β的必要条件，则m的取值范围为________. 解析　因为α：－2≤x≤5，β：m＋1≤x≤2m－1(m≥2)，若α是β的必要条件，则所以所以2≤m≤3.所以m的取值范围为{m|2≤m≤3}. 答案　{m|2≤m≤3} $$