1.3.1 并集与交集（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

集合与常用逻辑用语 第一章 1.3　集合的基本运算 1.3.1　并集与交集 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　并集、交集的概念及表示法 所有属于集合A或属于集合B {x|x∈A，或x∈B} 返回目录 数学　必修 第一册 所有属于集合A且属于集合B {x|x∈A，且x∈B} 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　并集与交集的运算性质 ＝ ＝ A A A B A 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　集合的并集运算 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　集合的交集运算 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　并集和交集性质的应用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究四　集合中的新定义问题 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，提升数学抽象和直观想象的核心素养(重难点). 名称 文字语言描述 符号语言 表示 Venn图表示 并 集 对于两个给定的集合A，B，由___________________________的元素组成的集合 A∪B＝ ________________ 名称 文字语言描述 符号语言 表示 Venn图表示 交 集 对于两个给定的集合A，B，由____________________________的元素组成的集合 A∩B＝ ________________ 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B______B∪A A∩B______B∩A A∪A＝______ A∩A＝______ A∪∅＝______ A∩∅＝______ A⊆B⇔A∪B＝______ A⊆B⇔A∩B＝______ A(B)⊆(A∪B) (A∩B)⊆A(B) ∅ 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. (1)并集中的“或”与生活用语中的“或”是同样的含义.(　　) (2)交集概念中的“且”即是“同时”的意思.(　　) (3)若两个集合A与B没有公共元素，则A，B没有交集.(　　) (4)两个集合A与B没有公共元素时，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅.(　　) 提示　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 规律总结 求集合并集的两种方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解. (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到. 【例题1】 (1)(2022·浙江)设集合A＝{1,2}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝(　　) A.{2} B.{1,2} C.{2,4,6} D.{1,2,4,6} (2)(2021·北京)已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝(　　) A.{x|－1<x<2} B.{x|－1<x≤2} C.{x|0≤x<1} D.{x|0≤x≤2} 解析　(1)A∪B＝{1,2}∪{2,4,6}＝{1,2,4,6}.故选D项. (2)在数轴上表示出集合A，B，如图所示. 由图可知A∪B＝{x|－1<x≤2}.故选B项. 答案　(1)D　(2)B 【变式1】 已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝(　　) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,9} D.{0,1,3,9} 答案　D 解析　因为M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，所以N＝{0,3,9}，所以M∪N＝{0,1,3}∪{0,3,9}＝{0,1,3,9}.故选D项. 规律总结 求交集的常见类型 (1)若集合A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集. (2)若集合A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集. (3)若集合A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示. 【例题2】 (1)(2023·新高考Ⅰ改编)已知集合M＝{－2， －1,0,1,2}，N＝{x|x≤－2或x≥3}，则M∩N＝(　　) A.{－2，－1,0,1} B.{0,1,2} C.{－2} D.{2} (2)(2023·北京)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，则M∩N＝(　　) A.{x|－2≤x<1} B.{x|－2<x≤1} C.{x|x≥－2} D.{x|x<1} 解析　(1)由题意可得M∩N＝{－2}.故选C项. (2)集合M＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，集合N＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，在数轴上表示出集合M，N，如图所示. 由图可知M∩N＝.故选A项. 答案　(1)C　(2)A 【变式2】 (1)已知集合P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P∩Q＝(　　) A.{0} B.{0,3} C.{1,2} D.{0,1,2,3} (2)已知集合A＝{1,2,3,5,7,11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　(1)由题意可得P∩Q＝{1,2}.故选C项. (2)由题意得A∩B＝{5,7,11}，所以A∩B中元素的个数为3.故选B项. 答案　(1)C　(2)B 解题技巧 利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理. (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可遗漏. 【例题3】 已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值集合C. 解析　因为A∪B＝A，所以B⊆A. 当B＝∅时，只需2a＞a＋3，即a＞3； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴. 由图可得或解得a＜－4或2＜a≤3. 综上，实数a的取值集合C为{a|a＜－4或a＞2}. 【变式3】 设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，求使A⊆(A∩B)成立的a的取值集合. 解析　由A⊆(A∩B)，得A⊆B. ①若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6； ②若A≠∅，则解得6≤a≤9. 综合①②可知，使A⊆(A∩B)成立的a的取值集合为{a|a≤9}. 解题技巧 集合新定义问题的求解技巧 准确理解题意对解决新定义问题是至关重要的，解决此类问题可按以下步骤进行：利用信息→理解定义→转化为已掌握的知识. 【例题4】 定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}.设A＝{1,2}，B＝{0,1,2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　) A.0 B.66 C.70 D.72 答案　B 解析　由题意知，当x＝1时，y＝0,1,2,3，所以z＝0,2,6,12；当x＝2时，y＝0,1,2,3，所以z＝0,6,16,30.故A⊙B＝{0,2,6,12,16,30}，所以所有元素之和为66.故选B项. 【变式4】 定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若集合A＝{x|2x＋1>0}，集合B＝，则集合A－B＝________. 解析　易知A＝，B＝{x|x<2}，故A－B＝{x|x≥2}. 答案　{x|x≥2} 1.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝(　　) A.{x|2＜x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x＜4} D.{x|1＜x＜4} 答案　C 解析　由题意知A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，由并集的定义知A∪B＝{x|1≤x＜4}.故选C项. 2.(2022·全国乙)集合M＝{2,4,6,8,10}，N＝{x|－1<x<6}，则M∩N＝(　　) A.{2,4} B.{2,4,6} C.{2,4,6,8} D.{2,4,6,8,10} 答案　A 解析　由交集的定义结合题意可得M∩N＝{2,4}.故选A项. 3.设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B＝(　　) A.{x|1≤x<3} B.{x|1≤x≤3} C.{x|0≤x<1或x>3} D.{x|0≤x≤1或x≥3} 答案　C 解析　由题意知，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，所以A*B＝{x|0≤x<1或x>3}.故选C项. 4.设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}. (1)若A∩B＝B，求实数a的取值范围； (2)若A∪B＝B，求实数a的值. 解析　由题意可得A＝{0，－4}. (1)因为A∩B＝B，所以B⊆A. ①若0∈B，则a2－1＝0，解得a＝±1. 当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝A； 当a＝－1时，B＝{0}A. ②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，解得a＝7或a＝1. 当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不是A的子集； 当a＝1时，B＝A. ③若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1. 综上所述，a的取值范围是{a|a≤－1或a＝1}. (2)因为A∪B＝B，所以A⊆B. 因为A＝{0，－4}，而B中最多有两个元素，所以A＝B，即a＝1. $$