1.1 集合的概念（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

集合与常用逻辑用语 第一章 1.1　集合的概念 返回目录 数学　必修 第一册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　元素与集合的概念 研究对象 小写拉丁字母a，b，c，… 一些元素组成的总体 集 大写拉丁字母A，B，C，… 确定性 互异性 无序性 是一样的 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 要点二　元素与集合的关系 a是集合A中的元素 a∈A a不是集合A中的元素 a∉A 返回目录 数学　必修 第一册 要点三　常用的数集及其记法 全体非负整数 N 全体正整数 N* N＋ 全体整数 Z 全体有理数 Q 全体实数 R 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 要点四　集合的表示方法 一一列举 共同特征 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　集合的判定 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　元素与集合的关系 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　集合的表示及应用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究四　求集合中的参数 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，培养数学抽象的核心素养(重点).2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，培养数学运算的核心素养. 1.元素：一般地，把____________统称为元素，通常用______________________________表示. 2.集合：一般地，把______________________叫做集合(简称为______)，通常用______________________________表示. 3.集合中元素的特性 __________、__________、__________. 4.集合相等：只要构成两个集合的元素____________，就称这两个集合是相等的. 思考：(1)你能举例说出：初中阶段，我们在代数方面学习过的集合吗？ (2)构成集合的元素有什么要求？ 提示　(1)自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集合，不等式解的集合. (2)构成集合的元素除了常见的数、点、式子等数学对象，也可以是其他任何形式的对象，只要是有确定标准的对象即可，另外，一个集合也可以是另一个集合的元素. 知识点 关系 概念 记法 读法 元素 与集 合的 关系 属于 如果__________________，就说a属于集合A _______ a属于 集合A 不属于 如果___________________，就说a不属于集合A _______ a不属于集合A 概念 名称 记法 ________________组成的集合 非负整数集 (或自然数集) ______ ____________组成的集合 正整数集 _______或______ ____________组成的集合 整数集 ______ ____________组成的集合 有理数集 ______ ____________组成的集合 实数集 ______ 思考：(1)如何准确理解符号“∈”和“∉”？ (2)非负整数集与正整数集有何区别？ 提示　(1)符号“∈”和“∉”是表示集合的元素与集合之间的关系，只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. (2)非负整数集包括零，而正整数集不包括零. 1.自然语言法：用文字叙述的形式表示集合的方法. 2.列举法：把集合的所有元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法，表示形式为A＝{a1，a2，a3，…，an}. 3.描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有____________P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法；有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. (1)组成集合的元素一定是实数.(　　) (2)一个集合中可以找到两个相同的元素.(　　) (3)集合相等与集合的形式无关.(　　) (4)符号“∈”和“∉”只用来表示元素和集合之间的关系.(　　) (5)0∈N.(　　) (6)大于1的整数所构成的集合可以用列举法表示，属于有限集.(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)× 解题技巧 (1)判断一组对象能否构成集合的依据是元素的确定性.如果判断的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合. (2)解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性. 【例题1】 下列所给的对象能构成集合的是______________. ①高一数学必修第一册课本上的所有难题； ②比较接近1的全体正数； ③某校高一年级16岁以下的学生； ④平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点； ⑤参加跳绳比赛的年轻选手； ⑥a，b，a，c. 解析　①不能构成集合，因为“难题”的标准是模糊的，所以元素是不确定的，故不能构成集合；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素是不确定的，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的，所以元素是不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为有两个a是重复的，不符合元素的互异性. 答案　③④ 【变式1】 (多选)下列所给的对象，能构成一个集合的是(　　) A.某校高一年级成绩优秀的学生 B.平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.2024年某校春季运动会跳远项目前三名的获得者 答案　BCD 解析　A项中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；B，C，D项中的对象都满足集合元素的特性，所以能构成集合.故选BCD项. 误区防错 (1)判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现. ②推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征. (2)判断集合中元素的个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个. 【例题2】 用符号“∈”或“∉”填空. (1)2______{x|x<},3______{x∈Z|－5≤x≤2}； (2)4______{x|x＝n2＋1，n∈Z},5______{x|x＝n2＋1，n∈Z}； (3)(－1,1)______{y|y＝x2}，(－1,1)______{(x，y)|y＝x2}； (4)________Q,0________N*. 解析　(1)因为22<()2，所以2∈{x|x<}； 因为{x∈Z|－5≤x≤2}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}，所以3∉{x∈Z|－5≤x≤2}. (2)令4＝n2＋1，则n＝±∉Z，所以4∉{x|x＝n2＋1，n∈Z}；令5＝n2＋1，则n＝±2∈Z，所以5∈{x|x＝n2＋1，n∈Z}. (3)集合{y|y＝x2}的代表元素是数，集合{(x，y)|y＝x2}的代表元素是实数对，且1＝(－1)2，所以(－1,1)∉{y|y＝x2}，(－1,1)∈{(x，y)|y＝x2}. (4)是无理数，Q是有理数集，所以∉Q；N*表示正整数集，所以0∉N*. 答案　(1)∈　∉　(2)∉　∈　(3)∉　∈　(4)∉　∉ 【变式2】 用符号“∈”或“∉”填空. (1)3______{x|x<}，－1______{x∈N|－2≤x≤2}； (2)10______{k|k＝m2＋n2，m，n∈N},102______{k|k＝m2＋n2，m，n∈N}. 解析　(1)因为32＜()2，所以3∈{x|x＜}；因为{x∈N|－2≤x≤2}＝{0,1,2}，所以－1∉{x∈N|－2≤x≤2}. (2)若m＝1，n＝3，则m2＋n2＝10，所以10∈{k|k＝m2＋n2，m，n∈N}；若m＝0，n＝10，则m2＋n2＝102，所以102∈{k|k＝m2＋n2，m，n∈N}. 答案　(1)∈　∉　(2)∈　∈ 规律总结 选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法. 【例题3】 用适当的方法表示下列集合. (1)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (2)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合. 解析　(1)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11，故可用列举法表示为{3,5,7,11}. (2)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}. (3)集合代表的元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x<0，且y>0}. (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，因为点有无数个，所以用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}. (5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为实数y，所以可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}. 【变式3】 说明下列各集合表示的含义. (1)A＝； (2)B＝； (3)C＝{(0,1)}； (4)D＝{(x，y)|x＋y＝1，且x－y＝－1}. 解析　(1)A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知A＝{y∈R|y≠0}. (2)B的代表元素是点(x，y)，B表示直线y＝x－3，但除去点(3,0). (3)C表示一个单元素集，是一个实数对集，是以一个点的坐标为元素的集合. (4)D表示一个实数对集，即方程组的解，解方程组得其解为(0,1)，所以D是一个单元素集. 解题技巧 当元素a∈A，若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程(组)、不等式(组)等；若集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A中的某个元素.反之，当a∉A时，结论恰恰相反.利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解出参数，再根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验.另外，在利用集合中元素的特性求参数时要注意分类讨论思想的应用. 【例题4】 (1)已知集合A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n＝0}，若点P(2,3)∈A，且P(2,3)∉B，则(　　) A.m>－1，n≠5 B.m<－1，n≠5 C.m>－1，n＝5 D.m<－1，n＝5 (2)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的取值集合. 解析　(1)依题意，因为P(2,3)∈A，所以是不等式2x－y＋m>0的一组解，即4－3＋m>0，所以m>－1.因为P(2,3)∉B，所以不是方程x＋y－n＝0的一组解，即2＋3－n≠0，所以n≠5.故选A项. 答案　A (2)①若a＋2＝1，即a＝－1，则(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，元素重复；②若(a＋1)2＝1，即a＝－2或a＝0，当a＝－2时，a＋2＝0，a2＋3a＋3＝1，元素重复；当a＝0时，a＋2＝2，a2＋3a＋3＝3，满足题意；③若a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1或－2，均不符合题意.所以实数a的取值集合为{0}. 【变式4】 (1)已知集合A＝{a－3,2a－1}，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值. (2)已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值. (3)若将(2)中的条件“a∈A”去掉，其他条件不变，求实数a的取值范围. 解析　(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3， －1，符合要求； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求. 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. (2)由题意，可知a＝1或a2＝a，若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.综上可知，实数a的值为0. (3)由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1. 所以a的取值范围是a≠±1. 1.下列各组对象不能构成集合的是(　　) A.所有直角三角形 B.二次函数y＝x2的图象上所有的点 C.高一年级开设的所有课程 D.充分接近eq \r(3)的所有实数 答案　D 解析　A，B，C项中的对象具备确定性，而D项中“充分接近”的标准是不确定的，故D项不能构成集合.故选D项. 2.已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是(　　) A.3∈A B.1∈A C.0∈A D.－1∉A 答案　C 解析　集合A表示不等式3－3x>0的解集，显然3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式.故选C项. 3.下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　) A.{x|x＝1} B.{y|(y－1)2＝0} C.{x＝1} D.{1} 答案　C 解析　A，B，D项表示的集合都是{1}，而C项表示含有一个方程的集合.故选C项. 4.(多选)方程组的解集可以表示为(　　) A. B.{(1,2)} C.{1,2} D.{(x，y)|x＝1，y＝2} 答案　ABD 解析　原方程组的解为x＝1，y＝2，其解集中只含有一个元素，可表示为A，B，D项，C项不符合.故选ABD项. $$