第二章 有理数的运算-2024-2025学年七年级上学期《2024浙教新版数学七年级上册常考题型精讲•精练•精测》

2024浙教新版《七年级数学上册精讲•讲练•精测》 2024浙教新版 七年级上册常考题型精讲•讲练•精测 第二章 有理数的运算 学习目标 1.掌握有理数的加法法则，会进行有理数的加法运算；理解有理数加法交换律和结合律，能运用加法运算律简化运算； 2.理解有理数的减法法则，能熟练利用法则进行运算；能将有理数的加减混合运算统一成加法运算，熟练地进行有理数的加减混合运算。 3.掌握有理数的乘法法则，会进行有理数的乘法运算；理解有理数乘法交换律、结合律和分配律，能运用乘法运算律简化运算； 4.理解有理数的除法法则，能熟练利用法则进行运算；能将有理数的乘除混合运算统一成乘法运算； 5.理解乘方的意义和幂的符号法则，会进行有理数的乘方的运算； 6.熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序； 7.会用科学记数法表示绝对值大于10的数，会将用科学记数法表示的数还原； 8.知道近似数的概念，会根据问题的要求进行简单的近似计算； 思维导图 知识详解 知识点1：有理数的加法 1.有理数的加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【名师点拨】利用有理数加法法则进行加法运算的三步： (1)判断加数符号：两个加数的符号是同号、异号； (2)选择对应法则：确定和的符号及绝对值； (3)写出结果． 2.有理数的加法运算律： (1) 加法交换律 · 语言叙述：两个数相加，交换加数的位置，和不变； · 数学语言：a+b＝b+a (2) 加法结合律 · 语言叙述：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变； · 数学语言：(a+b)+c＝a+(b+c) 【名师点拨】交换加数的位置时，要连同加数的符号一起． 知识点2：有理数的减法 1. 有理数的减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数，即：． 【名师点拨】 将减法转化为加法时，注意“两变”： 一变是减号变加号；二变是把减数变为它的相反数．如： 2.有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当选用加法运算律可以简化计算. 知识点3：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； （2）任何数与0相乘，都得0． 【名师点拨】 （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来； 如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 【名师点拨】 （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等， 即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 【名师点拨】 （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 【名师点拨】 （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点4：有理数的除法 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【名师点拨】 （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 知识点5：有理数的乘方 1.乘方概念： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 【名师点拨】 （1）乘方与幂是不同的，乘方是运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数有几种情况要用括号括起来： · 当底数是负数时：例如： · 当底数是分数时：例如： · 当底数中含有别的运算时：例如： （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 【名师点拨】 (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 知识点6：有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，一般先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【名师点拨】 (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是一级运算，乘除法是二级运算，乘方是三级运算； (2)含有括号的混合运算一般做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；如遇到特殊情况，也可以从大到小进行运算。 (3)在运算过程中注意合理运用运算律简化运算． 知识点7：科学记数法与近似数 1.科学记数法： 把一个大于10的数表示成的形式（其中，l≤＜10，是正整数），这种记数法 叫做科学记数法. 【名师点拨】 （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则比这个数的整数位数少1. 2.近似数： （1）准确数：与实际完全符合的数称为准确数. （2）近似数：接近准确数但不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. （3）精确度：是指近似数与准确数的接近程度. 精确度的表述方法: · 用数位表示:如精确到千位或精确到百分位等; · 用小数点表示:如精确到0.1或精确到0.0001等. （4）取近似数的方法：四舍五入法；进一法；去尾法等。至于选择什么方法要根据具体情况选择。 常考题型精讲精练 题型1 直接利用有理数运算法则计算 例题1．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【变式训练】 1．计算： (1) (2) (3) (4) 2．计算： (1) (2) (3) (4) 3．（1）； （2） （3）； （4）． 4．计算 (1) (2) (3) (4) 题型2 利用有理数的运算律简化计算 例题2．简便计算 (1) (2) 【变式训练】 1．用简便方法计算： (1) (2) 2．运用加法运算律计算： (1)； (2)；(3)． 3．阅读下面的解题过程，并解决问题 计算： 解：原式……第一步 …………第二步 …………………………………………第三步 (1)计算过程中，第一步把原式化成_______的形式，体现了数学中的_______思想，为了计算简便，第二步运用了___________ (2)根据以上的解题技巧计算下列式子： 4．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3 有理数的运算与数轴的综合 例题3．在数轴上表示，两数的点如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知有理数，则在数轴上表示的点在原点右侧的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 2．如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示连续的五个整数a，b，c，d，e，且，则下列说法不正确的是（    ） A．点C表示的数字是0 B． C． D． 3．如图，数轴上A，B两点分别表示有理数a，b，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为10，E点表示的数为，，则数所对应的点在线段（   ）上 A． B． C． D． 题型4 有理数运算的实际应用 例题4．学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：，，，，，，（单位：米）． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？ 【变式训练】 1．某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日产量与计划产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减量 (1)本周六生产了多少辆摩托车？ (2)本周总产量与计划产量相比，是增加了还是减少了？ (3)产量最少的一天比产量最多的一天少生产了多少辆摩托车？ 2．小明为了统计自己的骑行里程，将作为基数，超过的部分记作正数，不足的部分记作负数．下表是他最近10次骑行里程（单位：）的记录： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 记录 0.2 2.0 0.4 1.6 0.9 已知第3次骑行里程为，第7次骑行里程为． (1)请补全表格； (2)若骑行可消耗20千卡热量，则小明同学的这10次骑行一共消耗了多少千卡热量？ 3．为加强校园周边治安综合治理，治安巡逻车从地出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻．如果规定向南为正，向北为负，某一天中七次巡逻行驶的路程记录如下（单位：）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地A地什么方向？距地多远？ (2)在第几次巡逻结束时巡逻车距地最远？ (3)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升？ 4．出租车司机小王某天下午从是在南北走向的高新路上营运的．如果向南记作“”，向北记作“”．他这段时间内的行车情况如下：，，，，，（单位：千米；每次行车都有乘客）．请解答下列问题： (1)在这段时间内，小王将最后一名乘客送到目的地时，他在下午出车的出发地的什么方向？距离出发地多远？ (2)若规定每次乘坐出租车的起步价是8元，且3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收元．那么小王这段时间内收到的乘客所给车费共多少元？ (3)若小王的出租车每千米耗油升，每升汽油8元．不计汽车的损耗的情况下，除去汽油钱，请你计算一下小王在这段时间内赚了多少钱？ 题型5 有理数的新定义运算问题 例题5．定义运算，如． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练】 1．定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 2．定义新运算：对于任意有理数都有．例如：． (1)填空：______________； (2)求的值． 3．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值： (2)若，求a的值． 4．对于有理数a，b，定义运算：．解决以下问题： (1)计算； (2)计算； (3)请你判断一下交换律在这一运算中是否成立．如果成立请证明；如果不成立请举反例． 题型6 有理数运算的规律探究 例题6．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【变式训练】 1．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 2．求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 3．观察下列运算过程： ，；，… (1)填空：______； ______； (2)仿照（1）中的规律，判断与的大小关系； (3)求的值． 4．你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论 (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ①__________；   ②__________；   ③__________； ④__________；   ⑤__________；   ⑥__________… (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： __________（填或）． 题型7 科学记数法问题 例题7． 2024年4月27日，合肥肥西紫蓬山半程马拉松赛鸣枪开跑，赛事设置了男/女半程马拉松及欢乐跑两种赛制，半程马拉松全程约为21100米．将数据21100用科学记数法表示为 ． 【变式训练】 1．武汉，这座九省通衢的历史名城，在五一假期期间迎来了来自四面八方的游客．据统计，五一期间武汉共接待游客249.84万人次，这一数字足以证明武汉的文旅魅力．将数据249.84万用科学记数法表示是 ． 2．赤道半径为6378200米，用科学记数法表示为 米． 3．古埃及数字是古代人类最重要、最基本的数字之一.约公元前4000年，古埃及人就创造的一种以10为基数象形文数字如左图.如图①所表示的数为11205，那么把图②中所表示的数用科学记数法来表示应为 . 4．作为中国非常重要的制造业基地，长沙拥有工程机械、汽车及零部件、新材料、电 子信息等七大千亿级制造业产业集群，数字经济总量突破450000000000元．数据“450000000000”用科学记数法表示为 ． 题型8 近似数问题 例题8．用“四舍五入”法将精确到，所得到的近似数为 ． 【变式训练】 1．把13.65精确到十分位得 ． 2．据统计，今年10月份，全国入境旅游约12057200人次，用科学记数法表示这一近似数的结果为 人次．（精确到万位）； 3．数据1.3579精确到百分位，所得的近似数是 ． 4．七（1）班在运动会开幕式表演获得了28.737分，精确到百分位的结果是 分． 培优精测 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各式中，计算结果为正的是（    ）． A． B． C． D． 2．在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 3．不改变原式的值，将写成省略加号的和的形式是（ ） A． B． C． D． 4．计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 5．为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知数轴上三点表示的数分别是，若，，则原点的位置应该在（    ） A．点与点之间，更靠近点 B．点与点之间，更靠近点 C．点与点之间，更靠近点 D．点与点之间，更靠近点 7．下列计算：；；；．其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．一根1m长的小木棒，第一次截去它的，第二次截去剩余部分的，第三次再截去剩余部分的，如此截下去，第六次后剩余的小木棒的长度是（   ） A． B． C． D． 9．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．9 B．89 C．169 D．294 10．小明是一个聪明又富有想象力的学生.学习了“有理数的乘方”后，他就瑑磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，把记作．在混合运算中，先算除方，再算乘除，最后算加减，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题） 11．2024年4月27日，合肥肥西紫蓬山半程马拉松赛鸣枪开跑，赛事设置了男/女半程马拉松及欢乐跑两种赛制，半程马拉松全程约为21100米．将数据21100用科学记数法表示为 ． 12．按括号内的要求，用四舍五入法取近似数，0.4604（精确到0.001） ． 13．已知“（    ）”，则（    ）内应填的数是 ． 14．将算式改写成省略加号和括号的形式是： ． 15．规定一种运算，例如，请你按照这种运算的规定，试计算的值为 ． 16．在算式中的里，填入运算符号 ，使得算式的值最小，最小值为 ． 17．若，则 ． 18．规定“”是一种新的运算法则，满足：，则 ． 19．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ． 20．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）= 三、解答题（本大题共6小题） 21．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 22．用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 23．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式 ； 解法二：原式 ； 解法三：原式的倒数 ； 故原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 24．如果是一个有理数，我们定义表示不小于的最小整数，如，，． (1)根据定义：_____，______； (2)计算； (3)若，直接写出与1，2的大小关系为______；（用＞，≤，＜，≥，连接） 25．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．王先生家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)王先生这七天中平均每天驾车行驶多少千米？ (2)若每行驶需用汽油6升，汽油价格为元/升，则王先生家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？ 26．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024浙教新版《七年级数学上册精讲•讲练•精测》 2024浙教新版 七年级上册常考题型精讲•讲练•精测 第二章 有理数的运算 学习目标 1.掌握有理数的加法法则，会进行有理数的加法运算；理解有理数加法交换律和结合律，能运用加法运算律简化运算； 2.理解有理数的减法法则，能熟练利用法则进行运算；能将有理数的加减混合运算统一成加法运算，熟练地进行有理数的加减混合运算。 3.掌握有理数的乘法法则，会进行有理数的乘法运算；理解有理数乘法交换律、结合律和分配律，能运用乘法运算律简化运算； 4.理解有理数的除法法则，能熟练利用法则进行运算；能将有理数的乘除混合运算统一成乘法运算； 5.理解乘方的意义和幂的符号法则，会进行有理数的乘方的运算； 6.熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序； 7.会用科学记数法表示绝对值大于10的数，会将用科学记数法表示的数还原； 8.知道近似数的概念，会根据问题的要求进行简单的近似计算； 思维导图 知识详解 知识点1：有理数的加法 1.有理数的加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【名师点拨】利用有理数加法法则进行加法运算的三步： (1)判断加数符号：两个加数的符号是同号、异号； (2)选择对应法则：确定和的符号及绝对值； (3)写出结果． 2.有理数的加法运算律： (1) 加法交换律 · 语言叙述：两个数相加，交换加数的位置，和不变； · 数学语言：a+b＝b+a (2) 加法结合律 · 语言叙述：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变； · 数学语言：(a+b)+c＝a+(b+c) 【名师点拨】交换加数的位置时，要连同加数的符号一起． 知识点2：有理数的减法 1. 有理数的减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数，即：． 【名师点拨】 将减法转化为加法时，注意“两变”： 一变是减号变加号；二变是把减数变为它的相反数．如： 2.有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当选用加法运算律可以简化计算. 知识点3：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； （2）任何数与0相乘，都得0． 【名师点拨】 （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来； 如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 【名师点拨】 （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等， 即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 【名师点拨】 （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 【名师点拨】 （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点4：有理数的除法 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【名师点拨】 （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 知识点5：有理数的乘方 1.乘方概念： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 【名师点拨】 （1）乘方与幂是不同的，乘方是运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数有几种情况要用括号括起来： · 当底数是负数时：例如： · 当底数是分数时：例如： · 当底数中含有别的运算时：例如： （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 【名师点拨】 (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 知识点6：有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，一般先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【名师点拨】 (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是一级运算，乘除法是二级运算，乘方是三级运算； (2)含有括号的混合运算一般做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；如遇到特殊情况，也可以从大到小进行运算。 (3)在运算过程中注意合理运用运算律简化运算． 知识点7：科学记数法与近似数 1.科学记数法： 把一个大于10的数表示成的形式（其中，l≤＜10，是正整数），这种记数法 叫做科学记数法. 【名师点拨】 （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则比这个数的整数位数少1. 2.近似数： （1）准确数：与实际完全符合的数称为准确数. （2）近似数：接近准确数但不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. （3）精确度：是指近似数与准确数的接近程度. 精确度的表述方法: · 用数位表示:如精确到千位或精确到百分位等; · 用小数点表示:如精确到0.1或精确到0.0001等. （4）取近似数的方法：四舍五入法；进一法；去尾法等。至于选择什么方法要根据具体情况选择。 常考题型精讲精练 题型1 直接利用有理数运算法则计算 例题1．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； （3）根据乘法分配律计算； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】 1．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，然后进行加减运算即可； （2）先将除法变乘法，然后进行计算求解即可； （3）先计算乘方、乘除，然后进行加减运算即可； （4）利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)8 (2) (3)6 (4) 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，乘法分配律的应用，含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）直接利用乘法的分配律进行计算即可； （3）先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算减法运算即可； （4）先计算乘方与括号内的运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； 3．（1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1）15（2）（3）（4）8 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）根据绝对值和有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘除运算法则计算即可； （2）根据乘法的分配律计算即可； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 4．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则； （1）根据加减法法则计算即可； （2）将除法转化为乘法，计算即可； （3）利用乘法分配律展开，进一步计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘法和除法，最后计算加减即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） 题型2 利用有理数的运算律简化计算 例题2．简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式变形后用乘法分配律进行计算即可； （2）用乘法分配进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式训练】 1．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，然后运用乘法分配律计算即可； （2）将原式进行变形，然后运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 2．运用加法运算律计算： (1)； (2)；(3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 3．阅读下面的解题过程，并解决问题 计算： 解：原式……第一步 …………第二步 …………………………………………第三步 (1)计算过程中，第一步把原式化成_______的形式，体现了数学中的_______思想，为了计算简便，第二步运用了___________ (2)根据以上的解题技巧计算下列式子： 【答案】(1)省略加号和括号；转化；加法交换律和结合律 (2) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得出答案； （2）仿照题意运用有理数加减法交换律及结合律，使用简便方法计算即可． 【详解】（1）解：计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第二步运用了加法交换律和结合律； （2） ． 4．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3) (4)0 【分析】（1）先将带分数，小数，化为整数和分数的和或差，然后利用加法交换律，计算求解即可； （2）先将带分数，小数，化为分数，然后利用乘法交换律计算求解即可； （3）根据乘法分配律计算乘法，然后进行加减运算即可； （4）根据乘法结合律，计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型3 有理数的运算与数轴的综合 例题3．在数轴上表示，两数的点如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在数轴上的位置得到，，再根据运算法则进行逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，，，， 故选：D 【变式训练】 1．已知有理数，则在数轴上表示的点在原点右侧的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数符号的判断，需分类讨论，当同号时，当异号且时，当异号且时，分别判断即可． 【详解】解：当同号时，是负数，是正数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 综上所述，在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个． 故选：B． 2．如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示连续的五个整数a，b，c，d，e，且，则下列说法不正确的是（    ） A．点C表示的数字是0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，，，表示连续的五个整数，且，由他们在数轴上的位置可知，，，，，，然后进行判断即可． 【详解】解：，，，，表示连续的五个整数，且， ，，，，， A．点C表示的数字是0，正确； B．，正确； C．，错误； D．，正确； 故选：C． 3．如图，数轴上A，B两点分别表示有理数a，b，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由题意得：可判断①，再不妨设： 逐一计算各项，再判断即可. 【详解】解：由题意得： 故①正确，符合题意； 不妨设： 则，故②正确，符合题意； 表述错误，故③不符合题意； ，故④符合题意； 故⑤符合题意； 所以表述错误，故⑥不符合题意； 故选C 4．如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为10，E点表示的数为，，则数所对应的点在线段（   ）上 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴．先根据，计算出每一个线段的长度，再把的长度与进行比较即可． 【详解】解：点表示数为10，点表示的数为， ， ， ， 点表示的数为， ， ， 数所对应的点在点左侧， 数所对应的点在点之间， 故选：A． 题型4 有理数运算的实际应用 例题4．学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：，，，，，，（单位：米）． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？ 【答案】(1)守门员回到了球门线的位置 (2)守门员一共跑了米 【分析】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用．理解并掌握正负数的意义，熟练掌握有理数的加法法则，是解题的关键． （1）将所有数据相加，根据和的情况进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值进行相加即可得出结论． 【详解】（1）解：， 守门员回到了球门线的位置； （2）（米）， 守门员一共跑了米． 【变式训练】 1．某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日产量与计划产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减量 (1)本周六生产了多少辆摩托车？ (2)本周总产量与计划产量相比，是增加了还是减少了？ (3)产量最少的一天比产量最多的一天少生产了多少辆摩托车？ 【答案】(1)本周六生产了（辆） (2)本周总产量与计划产量相比减少了15辆 (3)产量最少的一天比产量最多的一天少生产（辆）摩托车 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加减法运算实际应用． （1）根据计划每日生产量和星期六的增减量求解即可； （2）将表格中的数据求和即可； （3）根据题意将星期五得增减量减去星期日的增减量求解即可． 【详解】（1）本周六生产了（辆） （2）（辆） 所以：本周总产量与计划产量相比减少了15辆． （3）产量最少的一天比产量最多的一天少生产（辆）摩托车． 2．小明为了统计自己的骑行里程，将作为基数，超过的部分记作正数，不足的部分记作负数．下表是他最近10次骑行里程（单位：）的记录： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 记录 0.2 2.0 0.4 1.6 0.9 已知第3次骑行里程为，第7次骑行里程为． (1)请补全表格； (2)若骑行可消耗20千卡热量，则小明同学的这10次骑行一共消耗了多少千卡热量？ 【答案】(1)0.4， (2)小明同学的这10次骑行一共消耗了3230千卡热量 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算的应用，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键． （1）分别用16.4和14.6减去16即可； （2）先求出记录的数的和，再加上标准数可得总里程，然后乘20即可． 【详解】（1），， 故答案为：0.4，； （2） （） （千卡）， 答：小明同学的这10次骑行一共消耗了3230千卡热量． 3．为加强校园周边治安综合治理，治安巡逻车从地出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻．如果规定向南为正，向北为负，某一天中七次巡逻行驶的路程记录如下（单位：）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地A地什么方向？距地多远？ (2)在第几次巡逻结束时巡逻车距地最远？ (3)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升？ 【答案】(1)南，距地； (2)第五次； (3)升． 【分析】（）计算出最后一次所处位置即可； （）分别计算出每次检修后所处位置即可求解； （）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量； 本题考查了正负数的意义，绝对值的应用，有理数的加、减、乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地； （2）解：第一次：，所以第一次记录时，与点相距； 第二次：，所以第二次记录时，与点相距； 第三次：，所以第三次记录时，与点相距； 第四次：，所以第四次记录时，与点相距； 第五次：，所以第五次记录时，与点相距； 第六次：，所以第六次记录时，与点相距； 第七次：，所以第七次记录时，与点相距， 所以在第五次记录时距地最远； （3）解： （升）， 答：七次巡逻行驶共耗油升． 4．出租车司机小王某天下午从是在南北走向的高新路上营运的．如果向南记作“”，向北记作“”．他这段时间内的行车情况如下：，，，，，（单位：千米；每次行车都有乘客）．请解答下列问题： (1)在这段时间内，小王将最后一名乘客送到目的地时，他在下午出车的出发地的什么方向？距离出发地多远？ (2)若规定每次乘坐出租车的起步价是8元，且3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收元．那么小王这段时间内收到的乘客所给车费共多少元？ (3)若小王的出租车每千米耗油升，每升汽油8元．不计汽车的损耗的情况下，除去汽油钱，请你计算一下小王在这段时间内赚了多少钱？ 【答案】(1)他在下午出车的出发地的北边，距离出发地2千米处 (2)小王这段时间内收到乘客所给的车费共75元 (3)小王在这段时间内赚了元 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算和四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出相应的算式，准确计算． （1）根据题目中给出的数据列出算式，进行计算即可； （2）根据收费标准列出算式，进行计算即可； （3）先求出消耗的汽油数量，然后再计算油价，最后算出赚的钱即可． 【详解】（1）解：（千米）． 故他在下午出车的出发地的北边，距离出发地2千米处． （2）解：，，，， （元）， 所以小王这段时间内收到乘客所给的车费共75元． （3）解：（千米）， （元）， （元）， 所以小王在这段时间内赚了元． 题型5 有理数的新定义运算问题 例题5．定义运算，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据，可以求得所求式子的值； （2）根据，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2） ． 【变式训练】 1．定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键． （1）按照规定的新运算进行计算即可； （2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 2．定义新运算：对于任意有理数都有．例如：． (1)填空：______________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，新定义运算； （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）根据题干信息列出算式进行计算即可； 解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【详解】（1）解： ． 故答案为：． （2）解： ． 3．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值： (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程． （1）根据题目中的定义可以解答本题； （2）根据题意可以将题目中的式子转化为关于a的方程，从而可以求得a的值． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 解得，； 4．对于有理数a，b，定义运算：．解决以下问题： (1)计算； (2)计算； (3)请你判断一下交换律在这一运算中是否成立．如果成立请证明；如果不成立请举反例． 【答案】(1) (2) (3)成立．证明见解析 【分析】（1）运用运算公式，计算即可得到答案； （2）根据，按运算顺序，先计算，进一步计算即可； （3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：成立． 理由是：∵， 又∵， ∴． 题型6 有理数运算的规律探究 例题6．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 【变式训练】 1．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 【答案】(1)，， (2)1； (3)11 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果； （2）归纳总结得到规律即可； （3）利用得出的结论计算即可得到结果． 【详解】（1）， ， ； （2）； （也可以写成）； 故答案为：1； （3） ． 2．求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 【答案】见解析 【分析】先分别求出各个式子，再根据结果即可总结出规律，然后根据规律即可得出答案． 【详解】解：（1）． （2），，． （3），． （4），． 由上述可得，两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即 (m为正整数)． ∴． 3．观察下列运算过程： ，；，… (1)填空：______； ______； (2)仿照（1）中的规律，判断与的大小关系； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据所给的求解方式进行求解即可； （2）把相应的数进行运算，最后比较即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：；； （2）解：∵，， ∴； （3）解：原式． 4．你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论 (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ①__________；   ②__________；   ③__________； ④__________；   ⑤__________；   ⑥__________… (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： __________（填或）． 【答案】(1)①；②；③；④；⑤；⑥ (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）分别计算后比大小，然后作答即可； （2）根据（1）的结果，归纳后作答即可； （3）根据（2）的结论作答即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥； （2）解：把第（1）题的结果经过归纳得出：当时，； 当时，． （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 题型7 科学记数法问题 例题7． 2024年4月27日，合肥肥西紫蓬山半程马拉松赛鸣枪开跑，赛事设置了男/女半程马拉松及欢乐跑两种赛制，半程马拉松全程约为21100米．将数据21100用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．武汉，这座九省通衢的历史名城，在五一假期期间迎来了来自四面八方的游客．据统计，五一期间武汉共接待游客249.84万人次，这一数字足以证明武汉的文旅魅力．将数据249.84万用科学记数法表示是 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法和精确度，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题的关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数据249.84万用科学记数法表示是， 故答案为：． 2．赤道半径为6378200米，用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 3．古埃及数字是古代人类最重要、最基本的数字之一.约公元前4000年，古埃及人就创造的一种以10为基数象形文数字如左图.如图①所表示的数为11205，那么把图②中所表示的数用科学记数法来表示应为 . 【答案】 【分析】此题主要考查了古代数字的表示，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 先表示这个数，然后根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：图②中的数为：， ∴． 故答案为：． 4．作为中国非常重要的制造业基地，长沙拥有工程机械、汽车及零部件、新材料、电 子信息等七大千亿级制造业产业集群，数字经济总量突破450000000000元．数据“450000000000”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法，为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 题型8 近似数问题 例题8．用“四舍五入”法将精确到，所得到的近似数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．经过四舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示． 【详解】解：， 即用“四舍五入”法将精确到，所得到的近似数为． 故答案为：． 【变式训练】 1．把13.65精确到十分位得 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．根据百分位为，进一，即根据四舍五入法解答即可． 【详解】解：13.65精确到十分位为：13.7． 故答案为：13.7． 2．据统计，今年10月份，全国入境旅游约12057200人次，用科学记数法表示这一近似数的结果为 人次．（精确到万位）； 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法与近似数，一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．它的有效数字的个数只与有关，而与的大小无关． 【详解】解： ；精确到万位，用科学记数法表示为． 故答案为：． 3．数据1.3579精确到百分位，所得的近似数是 ． 【答案】1.36 【分析】本题考查求一个数的近似数．利用四舍五入法，进行求解即可． 【详解】解：数据1.3579精确到百分位，所得的近似数是1.36； 故答案为：1.36． 4．七（1）班在运动会开幕式表演获得了28.737分，精确到百分位的结果是 分． 【答案】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，将千分位上的数字四舍五入即可得到答案，熟练掌握近似数的意义是解此题的关键． 【详解】解：，即精确到百分位的结果是， 故答案为：． 培优精测 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各式中，计算结果为正的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据有理数的加法法则化简各式，再根据大于0的数是正数进行选择． 【详解】A、，计算结果为负，不合题意； B、，计算结果为负，不合题意； C、，计算结果为正，符合题意； D、，计算结果为负，不合题意； 故选：C． 2．在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，由变形可知与3交换位置，所以在计算时通常转化成，这个变形的依据是：加法交换律． 【详解】解：在计算时通常转化成， 这个变形的依据是：加法交换律． 故选：A． 3．不改变原式的值，将写成省略加号的和的形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了省略加号的和的形式，正确理解省略加号和括号的形式是正确进行加减运算的基础．根据多重符号的化简法则即可把每个加数中的括号去掉，从而得到． 【详解】解：， 故选：B． 4．计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减运算，凑整，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 5．为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数乘法运算律，根据题意可以看出括号内之和为分数，与之积为只有乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 【详解】解：， ， ， 故选：． 6．如图，已知数轴上三点表示的数分别是，若，，则原点的位置应该在（    ） A．点与点之间，更靠近点 B．点与点之间，更靠近点 C．点与点之间，更靠近点 D．点与点之间，更靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与绝对值的应用，有理数的运算法则，根据数轴及，可得，，又由，得到，即可求解，掌握绝对值表示点到原点的距离的意义是解题的关键． 【详解】解：解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴数轴原点的位置应该在点与点之间，更靠近点， 故选：． 7．下列计算：；；；．其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，根据有理数的加减乘除法法则逐个判断即可，熟练掌握有理数的加减乘除运算法则是解题关键． 【详解】解：，则错误； ，则正确； ，则正确； ，则正确； 综上，正确的个数是个， 故选：． 8．一根1m长的小木棒，第一次截去它的，第二次截去剩余部分的，第三次再截去剩余部分的，如此截下去，第六次后剩余的小木棒的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘方的意义和题意可知：第1次截去后剩下的木棒长，第2次截去后剩下的木棒长，第3次截去后剩下的木棒长，以此类推第次截去后剩下的木棒长 米，即可求解． 【详解】解：第1次截去后剩下的木棒长， 第2次截去后剩下的木棒长， 第3次截去后剩下的木棒长， …… 以此类推第次截去后剩下的木棒长 ， ∴第六次后剩余的小木棒的长度是， 故选：A． 9．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．9 B．89 C．169 D．294 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算．理解题意，明确运算方式是解题的关键． 从右向左依次代表的数为4，，，，然后求和计算即可． 【详解】解：由题意知，从右向左依次代表的数为4，，，， ∴， 故选：C． 10．小明是一个聪明又富有想象力的学生.学习了“有理数的乘方”后，他就瑑磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，把记作．在混合运算中，先算除方，再算乘除，最后算加减，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义运算转化为常规运算，计算即可． 【详解】根据运算法则，得 = ． 故选C． 二、填空题（本大题共10小题） 11．2024年4月27日，合肥肥西紫蓬山半程马拉松赛鸣枪开跑，赛事设置了男/女半程马拉松及欢乐跑两种赛制，半程马拉松全程约为21100米．将数据21100用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12．按括号内的要求，用四舍五入法取近似数，0.4604（精确到0.001） ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用四舍五入的方法取近似数，本题把千分位上的数按照四舍五入的方法进行取舍即可． 【详解】解：用四舍五入法取近似数，（精确到）， 故答案为：． 13．已知“（    ）”，则（    ）内应填的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，根据题意列出式子进行计算即可，理解题意，正确列出式子是解此题的关键． 【详解】解：， （    ）内应填的数是， 故答案为：． 14．将算式改写成省略加号和括号的形式是： ． 【答案】 【分析】本题考查去括号和添括号，根据去括号的法则省略括号和加号即可得出答案． 【详解】解：改写成省略加号和括号的形式是：； 故答案为：． 15．规定一种运算，例如，请你按照这种运算的规定，试计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 16．在算式中的里，填入运算符号 ，使得算式的值最小，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的运算．熟练掌握绝对值，有理数的运算是解题的关键． 由题意知，最大，则的值最小，然后确定运算符号，最后代入求解即可． 【详解】解：由题意知，最大，则的值最小， ∴里，填入运算符号为， ∴， 故答案为：，． 17．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性、有理数的加法，根据“几个非负数的和等于，则每个非负数都等于”，求出、的值，再计算即可，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 18．规定“”是一种新的运算法则，满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则运算，按照新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 19．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ． 【答案】 【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解. 【详解】解：由题意可知，S1=，S2=，S3=，…，S2022=， 剩下部分的面积= S2022=， ∴S1+S2+S3+…+S2022=1－， 故答案为：1－. 20．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）= 【答案】 【分析】先根据已知等式探索出变形规律，然后根据规律进行变形，计算有理数的乘法运算即可． 【详解】解：由已知等式可知：， ， ， 归纳类推得：，其中n为正整数， 则， 因此， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题） 21．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； （3）根据乘法分配律计算； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3)0 (4) 【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）利用乘法分配律的逆运算求解即可； （4）把原式变形为，然后利用乘法分配律求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 23．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式 ； 解法二：原式 ； 解法三：原式的倒数 ； 故原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）根据一个数除以几个数的和（或差）不等于这个数除以这几个数所得的和（或差），可得上述解法一是错误的； （2）根据乘法分配律求出的倒数是多少，即可求出原来算式的值是多少． 【详解】（1）解：上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的， 故答案为：一； （2）解： ， ． 24．如果是一个有理数，我们定义表示不小于的最小整数，如，，． (1)根据定义：_____，______； (2)计算； (3)若，直接写出与1，2的大小关系为______；（用＞，≤，＜，≥，连接） 【答案】(1)0； (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意及有理数的运算可进行求解； （3）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为0，； （2）解：由题意得：， ∴ ； （3）解：根据“我们定义表示不小于的最小整数”可知：； 故答案为． 25．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．王先生家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)王先生这七天中平均每天驾车行驶多少千米？ (2)若每行驶需用汽油6升，汽油价格为元/升，则王先生家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)王先生这七天中平均每天驾车行驶51千米 (2)王先生家一个月（按30天计）的汽油费用是元 【分析】本题主要考查正负数的概念以及有理数混合运算的应用． （1）求出7天行驶的总里程除以7即可； （2）由总里程求出总耗油量，即可求解． 【详解】（1）（千米）， 答：王先生这七天中平均每天驾车行驶51千米； （2）（元）， 答：王先生家一个月（按30天计）的汽油费用是元． 26．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 【答案】(1)，， (2)1； (3)11 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果； （2）归纳总结得到规律即可； （3）利用得出的结论计算即可得到结果． 【详解】（1）， ， ； （2）； （也可以写成）； 故答案为：1； （3） ． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$