圆锥曲线4 -大题专题讲义-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线4 - 大题专题 目录 一、求轨迹方程 3 二、关于基本量的运算 6 2.1 弦长与面积型题目 8 2.2 垂直问题与向量关系型题目 11 三、定点定值问题 14 3.1 定点问题 14 3.2 定值问题 18 四、探索存在性问题 21 一、求轨迹方程 轨迹方程分为两类： ⑴定义类轨迹问题，按照已知条件和圆锥基本性质写出轨迹方程。方法是将所给性质表示成相应的方程。如圆的方程，椭圆的方程的求解。 ⑵参数型轨迹问题，求一个动点的轨迹，这个动点的运动轨迹是依赖于已知的条件所给的方程中含的参数决定。所求动点的坐标表示成参数的表达式，然后消去参数即可。这类问题的解题方法可以概括为： 1. 设动点的坐标为 2. 确定参数为其坐标，如直线则可以是斜率。 3. 根据题意将动点坐标表示成为参数的表达式。 4. 根据参数条件，得出参数和动点的表达式 5. ①将表达式反解（即将参数表示成为）代入消去参数即可。 ②无法反解，通过乘除等方法消去参数得到只含有x,y的方程。 例1 已知抛物线 的焦点为. （1）点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程; 变式1-1 过不在坐标轴上的定点的动直线交两坐标轴于点、，过、作坐标轴的垂线交于点 （1）求交点的轨迹方程。 例2 如图,长为的线段AB的两个端点A和B分别在轴和轴上滑动,点M是线段AB上一点,且。 （I）求点M的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线； 例3 （直接可以看出曲线是什么）已知椭圆的两个焦点分别为和，且点、在椭圆C上．又． （1）求焦点的轨迹的方程； 二、关于基本量的运算 关于基本量的运算：根据条件计算①弦长；②面积；③垂直问题；④向量关系； 解题思路： ⑴设点的坐标与直线方程； ⑵联立方程代入肖元得一元二次方程； ⑶写出“韦达定理”的表达式； ⑷根据基本量公式写出运算结果。 具体解题方法： ① 代入： 设直线：与曲线：相交于(，)，(，)． 则直线与曲线联立方程组写出“韦达定理”。 解:由； ② 求弦的长： ＝＝． 【】 ③ 求的面积： ＝＋＝·|－|·|OD|＝； ④ 若·，求相关参数（包含向量垂直）． 解：， 则·＝＋ ＋ ＋(＋)＋． ⑤ 向量关系转化为坐标关系． 例：设直线：与曲线：相交于、两点，与轴交于点．设＝λ（也可是求的值），求λ的值． 又＝λλλ ，由①与②求、，代入③得λ． 2.1 弦长与面积型题目 例1 已知椭圆：，直线被椭圆C截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的弦为。 ⑴求椭圆的方程；⑵弦的长度. 变式1-1 已知椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程． 变式1-2 平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值. 变式1-3 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点. (Ⅰ)求的方程； （Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程. 2.2 垂直问题与向量关系型题目 例1已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为. (1)若为等边三角形,求椭圆的方程; (2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程. 例2 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求的值. 变式2-1 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为 （1）求双曲线的方程； （2）若直线：与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点）．求的取值范围． 三、定点定值问题 定点定值问题：本质是含有未知参数的等式各个项和恒等于0。 3.1 定点问题 以外的字母称为参数，当参数数变则曲线也变，这些曲线称为曲线族。曲线是否过定点，看是否有一个与满足所有的方程。 解题方法： 1假设定点的坐标为，确定参数 2确定定点与参数的关系式，一般是将定点代入题中给的恒成立条件 3根据参数合并同类项，根据等式恒成立条件列方程 4若方程有解，则定点存在，否则定点不存在。 例1如图,长为的线段AB的两个端点A和B分别在轴和轴上滑动,点M是线段AB上一点,且。 (I)求点M的轨迹的方程； (II)设过点且斜率不为0的直线交轨迹于C、D两点.试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分乙?若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由 变式1-1 已知动圆过定点, 且在轴上截得的弦的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程; (Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. 变式1-2 如图，已知椭圆：的离心率是，一个顶点是。 （1）求椭圆的方程； （2）设、是椭圆上异于点的任意两点，且，试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由. 变式1-3如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率.过的直线交椭圆于两点,且的周长为8. (Ⅰ)求椭圆的方程. (Ⅱ)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相较于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. 3.2 定值问题 定值问题即将所求表达式化简，看其是否为定值的问题 两种题型：一是证明，化简之后就直接得到所求定值；二是存在性，化简之后还有参数，此时需要求出某个特定的量，使得表达式恒为常数 解题方法：化简最后含参数的表达式，需假设定值为C，然后转化为等式恒成立。 例1 椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1。 (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线、的斜率分别为、，若，试证明为定值,并求出这个定值。 变式1-1 已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为。 （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证为定值。 变式1-2 已知椭圆：的长轴长为，焦距为。 （1）求椭圆的方程。 （2）过动点的直线交轴于点，交于点、（在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点。 ①设直线、的斜率分别为、，证明为定值； ②略 四、探索存在性问题 例 已知A、B、C是椭圆:上的三个点,O是坐标原点. (I)当点是的右顶点,且四边形为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点B不是W的顶点时,判断四边形是否可能为菱形,并说明理由. 变式1-2 过椭圆：右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由． 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线4 - 大题专题 目录 一、求轨迹方程 3 二、关于基本量的运算 6 2.1 弦长与面积型题目 8 2.2 垂直问题与向量关系型题目 12 三、定点定值问题 15 3.1 定点问题 15 3.2 定值问题 19 四、探索存在性问题 22 一、求轨迹方程 轨迹方程分为两类： ⑴定义类轨迹问题，按照已知条件和圆锥基本性质写出轨迹方程。方法是将所给性质表示成相应的方程。如圆的方程，椭圆的方程的求解。 ⑵参数型轨迹问题，求一个动点的轨迹，这个动点的运动轨迹是依赖于已知的条件所给的方程中含的参数决定。所求动点的坐标表示成参数的表达式，然后消去参数即可。这类问题的解题方法可以概括为： 1. 设动点的坐标为 2. 确定参数为其坐标，如直线则可以是斜率。 3. 根据题意将动点坐标表示成为参数的表达式。 4. 根据参数条件，得出参数和动点的表达式 5. ①将表达式反解（即将参数表示成为）代入消去参数即可。 ②无法反解，通过乘除等方法消去参数得到只含有x,y的方程。 例1 已知抛物线 的焦点为. （1）点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程; 解析： 设为 即 变式1-1 过不在坐标轴上的定点的动直线交两坐标轴于点、，过、作坐标轴的垂线交于点 （1）求交点的轨迹方程。 解析： 依题意，的斜率存在，且不为 设其为 则， 设为 则 ， 例2 如图,长为的线段AB的两个端点A和B分别在轴和轴上滑动,点M是线段AB上一点,且。 （I）求点M的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线； 解析： 设为 例3 （直接可以看出曲线是什么）已知椭圆的两个焦点分别为和，且点、在椭圆C上．又． （1）求焦点的轨迹的方程； 解析： 是以、为焦点的双曲线 二、关于基本量的运算 关于基本量的运算：根据条件计算①弦长；②面积；③垂直问题；④向量关系； 解题思路： ⑴设点的坐标与直线方程； ⑵联立方程代入肖元得一元二次方程； ⑶写出“韦达定理”的表达式； ⑷根据基本量公式写出运算结果。 具体解题方法： ① 代入： 设直线：与曲线：相交于(，)，(，)． 则直线与曲线联立方程组写出“韦达定理”。 解:由； ② 求弦的长： ＝＝． 【】 ③ 求的面积： ＝＋＝·|－|·|OD|＝； ④ 若·，求相关参数（包含向量垂直）． 解：， 则·＝＋ ＋ ＋(＋)＋． ⑤ 向量关系转化为坐标关系． 例：设直线：与曲线：相交于、两点，与轴交于点．设＝λ（也可是求的值），求λ的值． 又＝λλλ ，由①与②求、，代入③得λ． 2.1 弦长与面积型题目 例1 已知椭圆：，直线被椭圆C截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的弦为。 ⑴求椭圆的方程；⑵弦的长度.（3）过的直线被椭圆截的长度（如果斜率存在设其为，如果斜率不存在，也要讨论） 解析：（1） （2） 直线的方程为，设为，为 把直线代入椭圆，得 （3） ① 斜率不存在时， ② 的斜率存在时，设其为 为，代入椭圆得 变式1-1 已知椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程． 解析（1） （2）设为，为 ①直线斜率不存在时，不合题意 ②直线斜率存在时，设其为，则为，代入椭圆，得 ， 的方程为 变式1-2 平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值. 解析：（1）点差法 设为，为，为，为 点差法的过程省略 又 （2）将代入椭圆,得 ， 设为，代入椭圆，得 时，有最大值 变式1-3 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点. (Ⅰ)求的方程； （Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程. 解析（1） （2）①若的斜率不存在，不合题意 ②若的斜率存在，设其为 设为，为 为 ， 此时， 2.2 垂直问题与向量关系型题目 例1已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为. (1)若为等边三角形,求椭圆的方程; (2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程. 解析：（1） （2）椭圆为，设为，为 ①的斜率不存在时，， 为，为 与不垂直 ②的斜率存在时 ， ， 例2 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求的值. 解析：（1） （2）， ，， 为，代入椭圆，得 ， 变式2-1 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为 （1）求双曲线的方程； （2）若直线：与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点）．求的取值范围． 解析：（1） （2）代入，得 或 ， 三、定点定值问题 定点定值问题：本质是含有未知参数的等式各个项和恒等于0。 3.1 定点问题 以外的字母称为参数，当参数数变则曲线也变，这些曲线称为曲线族。曲线是否过定点，看是否有一个与满足所有的方程。 解题方法： 1假设定点的坐标为，确定参数 2确定定点与参数的关系式，一般是将定点代入题中给的恒成立条件 3根据参数合并同类项，根据等式恒成立条件列方程 4若方程有解，则定点存在，否则定点不存在。 例1如图,长为的线段AB的两个端点和分别在轴和轴上滑动,点M是线段AB上一点,且。 (I)求点M的轨迹的方程； (II)设过点且斜率不为0的直线交轨迹于、两点.试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分角?若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由 解析：（1） （2）①直线的斜率不存在时，为轴上除了以外的点 ②直线的斜率存在时，设其为，设直线为 将代入，得 ， 综上所述，为 变式1-1 已知动圆过定点, 且在轴上截得的弦的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程; (Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. 解析（1）设为 且 方程为 （2）①与轴垂直，不合题意 ②不与轴垂直时 设为， 综上所述，直线过定点 变式1-2 如图，已知椭圆： 的离心率是，一个顶点是。 （1）求椭圆的方程； （2）设、是椭圆上异于点的任意两点，且，试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由. 解析（1） （2）①若轴，设为 为,为 ， ，此时与重合，不合题意。 ②若与轴不垂直，设为 ， 该定点的坐标为 变式1-3如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率.过的直线交椭圆于两点,且的周长为8. (Ⅰ)求椭圆的方程. (Ⅱ)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相较于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. 解析（1） （2）代入，得 且 此时 为 为 设为，作、关于轴的对称点、 ，由对称性为直径的圆与以为直径的圆的交点在轴上 如果存在，它位于轴上 设为 ， 为 3.2 定值问题 定值问题即将所求表达式化简，看其是否为定值的问题 两种题型：一是证明，化简之后就直接得到所求定值；二是存在性，化简之后还有参数，此时需要求出某个特定的量，使得表达式恒为常数 解题方法：化简最后含参数的表达式，需假设定值为C，然后转化为等式恒成立。 例1 椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1。 (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围（省略，不是本讲的内容）； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线、的斜率分别为、，若，试证明为定值,并求出这个定值。 解析（1） （3） ， 为 ， 变式1-1 已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为。 （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证为定值。 解析（1）， （2）①为下端点时，为，为 ， ②不为下端点时，设 为， 为， ， 综上所述， 变式1-2 已知椭圆：的长轴长为，焦距为。 （1）求椭圆的方程。 （2）过动点的直线交轴于点，交于点、（在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点。 ①设直线、的斜率分别为、，证明为定值； ②略 解析（1），， （2）为 代入椭圆，得 为，为， 为的中点， 四、探索存在性问题 例 已知A、B、C是椭圆:上的三个点,O是坐标原点. (I)当点是的右顶点,且四边形为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点B不是W的顶点时,判断四边形是否可能为菱形,并说明理由. 解析：（1）的横坐标为 ， ， （2）思路：先求出的中点的坐标，再求出过且与垂直的直线的方程，与椭圆交于、，再求出的中点的横坐标，看它是否和的横坐标相同 设为，为，为，为，为，为 将代入椭圆方程，解出为，则为 为，即 代入椭圆得， 若与重合，则 不存在 变式1-2 过椭圆：右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由． 解析（1） （2）①的斜率不存在时， ，或， ②的斜率存在时，设为 与圆相切， 将代入椭圆得， 综上所述，圆为 30 学科网（北京）股份有限公司 $$