培优训练(3)(范围：2.1～2.2)（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

(范围：2.1～2.2) 1.将一根长为5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为(　　) A. B.2x－5≥1或5－2x≥1 C. D. 答案　D 解析　由题意，知另一段绳子的长度为(5－x)m.因为两段绳子长度之差不小于1 m，所以化简得故选D项. 2.设x＝2a(a＋3)，y＝(a－3)(a＋3)，则有(　　) A.x>y B.x≥y C.x<y D.x≤y 答案　B 解析　因为x－y＝[2a－(a－3)](a＋3)＝(a＋3)2≥0，当且仅当a＝－3时，等号成立，故x≥y.故选B项. 3.已知0<x<2，则y＝x的最大值为(　　) A.2 B.4 C.5 D.6 答案　A 解析　因为0<x<2，所以4－x2>0，则y＝x＝≤＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，等号成立.故选A项. 4.已知正实数a，b满足＋＝m，若·的最小值为4，则实数m的取值范围是(　　) A.{2} B.{m|m≥2} C.{m|0<m≤2} D.{m|m>0} 答案　B 解析　因为a，b为正实数，＝ab＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当ab＝，即ab＝1时，等号成立，此时有a＝，又因为＋＝m，所以a＋＝m，由基本不等式可知a＋≥2(当且仅当a＝1时，等号成立)，所以m≥2.故选B项. 5.(多选)下列说法中，正确的有(　　) A.若a>b，c∈R，则a＋c>b＋c B.若a>b，c∈R，则ac2>bc2 C.若a，b，c∈R，则a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc D.若a，b，c∈(0，＋∞)，则(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥8abc 答案　ACD 解析　若a>b，c∈R，由不等式的性质可得a＋c>b＋c，故A项正确；当c＝0时，ac2＝bc2，故B项错误；因为a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以若a，b，c∈R，则a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc，故C项正确；若a，b，c∈(0，＋∞)，则a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，a＋c≥2>0，则(a＋b)(b＋c)·(a＋c)≥8＝8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，故D项正确.故选ACD项. 6.若x>1，则的最小值为________. 解析　若x>1，则＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝7，当且仅当x＝4时，等号成立，因此的最小值为7. 答案　7 7.已知x>0，y>0，且＋＝1，若2x＋y>m恒成立，则实数m的取值范围是________. 解析　因为x>0，y>0，且＋＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝y＝3时，等号成立，故2x＋y的最小值为9.因为2x＋y>m恒成立，所以m<(2x＋y)min＝9. 答案　{m|m<9} 8.已知a>0，b>0. (1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)； (2)若a＋b＝2ab，求ab的最小值. 解析　(1)证明：因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，所以a2＋3b2≥2b(a＋b). (2)因为a>0，b>0， 所以2ab＝a＋b≥2，即ab≥， 所以≥1，所以ab≥1. 当且仅当a＝b＝1时，等号成立，此时ab取最小值1. 9.(1)设x，y∈R，比较(x2－y2)2与xy(x－y)2的大小. (2)已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围. 解析　(1)因为(x2－y2)2－xy(x－y)2＝x4＋y4－x3y－xy3＝x3(x－y)＋y3(y－x)＝(x－y)(x3－y3)＝(x－y)2(x2＋xy＋y2)＝(x－y)2≥0， 当且仅当x＝y时，等号成立， 所以当x＝y时，(x2－y2)2＝xy(x－y)2； 当x≠y时，(x2－y2)2>xy(x－y)2. (2)令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，所以4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得 因为1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，所以－3≤3(a－b)≤6，所以－2≤4a－2b≤10. 10.(多选)某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则下列说法正确的是(　　) A.当x＝40时，y取得最小值 B.当x＝45时，y取得最小值 C.ymin＝320 D.ymin＝360 答案　AC 解析　一年购买某种货物800吨，每次购买x吨，则需要购买次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为y＝×8＋4x万元.因为y＝×8＋4x≥2＝320，当且仅当＝4x，即x＝40时，等号成立，所以当x＝40时，y取得最小值，ymin＝320.故选AC项. 11.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数a，b满足a＋b＝4，且＋>t恒成立，则实数t的取值范围是________. 解析　因为a>0，b>0，且a＋b＝4，所以＋＝(a＋b)＝≥＝1，当且仅当即a＝b＝2时，等号成立.因为a≠b，所以＋>1，因为＋>t恒成立，所以t≤1. 答案　{t|t≤1} 12.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，则a的取值范围是________. 解析　①当b>0，c>0时，因为a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，所以－a＝b＋c，bc＝1－a，可得－a>0,1－a>0，可得a<0，所以－a＝b＋c≥2＝2，化为a2＋4a－4≥0，解得a≤－2－2； ②当b<0，c<0时，因为a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，所以a＝(－b)＋(－c)，bc＝1－a，可得a>0,1－a>0，可得0<a<1.所以a＝－b－c≥2＝2，化为a2＋4a－4≥0，解得－2＋2≤a<1； ③当bc＝0时，不妨取c＝0，由已知可得a＝1，b＝－1，此时a＝1； ④当bc<0时，因为a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，所以a＝－(b＋c)，a＝1－bc>1. 综上可得，a≥－2＋2或a≤－2－2. 答案　{a|a≥－2＋2或a≤－2－2} 13.(多选)公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型(如图所示)，以线段AB为直径作半圆ADB，CD⊥AB，垂足为C，以AB的中点O为圆心，OC为半径再作半圆，过O作OE⊥OD，交半圆于E，连接ED，设BC＝a，AC＝b(0<a<b)，则下列不等式一定正确的是(　　) A.< B.< C.b< D.> 答案　AD 解析　因为AB是圆O的直径，则∠ADB＝90°＝∠DAB＋∠DBA，因为CD⊥AB，则∠ACD＝90°，所以∠DAB＋∠ADC＝90°，故∠DBA＝∠ADC，易证△ADC∽△DBC，故＝，即CD2＝AC·BC＝ab，大圆半径R＝，小圆半径r＝－a＝，因为∠ACD＝90°，所以AC　2＋CD2＝AD2，故AD＝＝，同理可得BD＝＝.A项中，显然当0<a<b时，∠AOD是钝角，故OD<AD，即大圆半径R＝OD<AD，故<，故正确；B项中，当∠BOD＝60°时，大圆半径R＝OD＝OB＝BD，有＝，故错误；C项中，当∠BOD＝60°时，BD＝＝OD<AC＝b，即b>，故错误；D项中，大圆半径R＝OD＝，小圆半径r＝OC＝，则＝，而>OD，故>，故正确.故选AD项. 14.某建筑队在一块矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如下图中矩形ABCD的学生公寓，要求点C在地块的对角线MN上，点B，D分别在边AM，AN上. (1)若AM＝30 m，宽AN＝20 m，求长度AB和宽度AD分别为多少米时，矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少m2? (2)若矩形AMPN的面积为600 m2，问学生公寓ABCD的面积是否有最大值？若有，求出最大值？若没有，请说明理由. 解析　(1)设AB＝x m，依题意知△NDC∽△NAM，所以＝，即＝，则AD＝20－x. 故矩形ABCD的面积为S＝20x－x2(0<x<30)， S＝20x－x2＝x(30－x)≤×2＝150， 当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立. 此时AD＝20－x＝10. 故AB＝15 m，AD＝10 m时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150 m2. (2)由(1)可得△NDC∽△NAM，即＝，同理可得＝，设AB＝x m，AD＝y m，所以＋＝＋＝1，即＋＝1，所以＋＝1≥2，即xy≤.因为矩形AMPN的面积为600 m2，即AM·AN＝600，所以xy≤150，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以学生公寓ABCD的面积有最大值，且最大值为150 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $$