3.1.1 函数的概念 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1．下列说法正确的是(　　) A．不存在既不是奇函数又不是偶函数的幂函数 B．图象不经过点(－1,1)的幂函数一定不是偶函数 C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个幂函数相同 D．幂函数的图象可能出现在第四象限 答案　B 解析　若幂函数是偶函数，则其图象必经过点(－1,1)．故选B项． 2．(多选)下列所给出的函数中，是幂函数的是(　　) A．y＝－x3 B.y＝x－3 C．y＝2x3 D.y＝x3 答案　BD 解析　根据幂函数的定义可得y＝x－3，y＝x3是幂函数．故选BD项． 3．当0<x<1时，a＝x2，b＝x，c＝x－1的大小关系是(　　) A．c<b<a B.c<a<b C．b<c<a D.a<b<c 答案　D 解析　在同一坐标系中作出三个幂函数图象(图略)，易得a＜b＜c.故选D项． 4．若函数f(x)＝x－，则函数y＝f(4x－3)的定义域是(　　) A．(－∞，＋∞) B. C. D. 答案　D 解析　幂函数f(x)＝x－＝，其定义域为(0，＋∞)，所以4x－3＞0，所以x＞，所以函数y＝f(4x－3)的定义域是.故选D项． 5．若幂函数f(x)的图象过点(16,8)，则f(x)＜f(x2)的解集为(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(0,1) C．(－∞，0) D．(1，＋∞) 答案　D 解析　设幂函数的解析式为f(x)＝xα.由题意可得16α＝8，即24α＝23，所以α＝，所以f(x)＝x.据此可得函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，且函数在定义域上单调递增，故f(x)＜f(x2)等价于0≤x＜x2.所以原不等式的解集为(1，＋∞)．故选D项． 6．如图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　) A．①y＝x2；②y＝x；③y＝x；④y＝x－1 B．①y＝x3；②y＝x2；③y＝x；④y＝x－1 C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝x；④y＝x－1 D．①y＝x；②y＝x；③y＝x2；④y＝x－1 答案　B 解析　注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应；y＝x＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，其图象应与④对应．故选B项． 7．已知幂函数f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)的解析式是____________. 解析　设f(x)＝xα，又f(x)的图象经过点(3，)，所以＝3α，所以α＝，即f(x)＝x＝. 答案　f(x)＝ 8．已知幂函数y＝(m2－2m－2)x的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整数m的值为________． 解析　因为y＝(m2－2m－2)xm2＋4m是幂函数，而且其图象与坐标轴没有交点，所以m2－2m－2＝1且m2＋4m＜0，解方程可得m＝3或m＝－1，代入不等式验证，仅有m＝－1符合条件．故整数m的值为－1. 答案　－1 9．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减． (1)求f(x)； (2)比较f(－2 024)与f(－2)的大小． 解析　(1)因为幂函数f(x)＝x (m∈N*)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以m2－m－3＜0， 解得＜m＜. 又m∈N*，所以m＝1或2. 当m＝1时，f(x)＝x－3，为奇函数； 当m＝2时，f(x)＝x－1，为奇函数． 故f(x)＝x－3或f(x)＝x－1. (2)因为f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(－2 024)＝－f(2 024)，f(－2)＝－f(2)，且f(2 024)＜f(2)，所以－f(2 024)＞－f(2)， 所以f(－2 024)＞f(－2)． 10．若f(x)＝x为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则自然数a的最小值为________. 解析　由题意知1－a＜0，则a＞1，又f(x)为偶函数，所以1－a为负偶数，即a为正奇数，故a的最小值为3. 答案　3 11．已知幂函数f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)，且在区间(0，＋∞)内函数图象是上升的． (1)求实数k的值； (2)若存在实数a，b，使得函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 解析　(1)因为函数f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)为幂函数， 所以k2－k－1＝1，解得k＝－1或k＝2. 又f(x)在区间(0，＋∞)内函数图象是上升的， 所以k＞0，即k＝2. (2)由题知存在实数a，b，使得函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，又f(x)＝x2＞0恒成立，所以a，b不为负．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以即又a＜b，所以a＝0，b＝1. 12．已知幂函数y＝xp－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a－1) <(3＋2a) 的a的取值范围． 解析　因为函数y＝xp－3在(0，＋∞)上单调递减， 所以p－3<0，即p<3. 又因为p∈N*，所以p＝1或p＝2. 因为函数y＝xp－3的图象关于y轴对称， 所以p－3是偶数，所以p＝1， 即(a－1) <(3＋2a) . 因为函数y＝x在(－∞，＋∞)上单调递增， 所以由(a－1) <(3＋2a) ，得a－1<3＋2a，即a>－4. 所以a的取值范围是(－4，＋∞)． 13．(多选)如图，fi(x)(i＝1,2,3,4)是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质“对[0,1]中任意的x1和x2，任意λ∈[0,1]，f(λx1＋(1－λ)x2)≤λf(x1)＋(1－λ)f(x2)恒成立”的有(　　) 答案　AC 解析　由于λ∈[0,1]，不妨取λ＝，则不等式变为f≤，因而区间[x1，x2]的中点对应的函数值不大于[f(x1)＋f(x2)]，即图象无上凸部分，结合图象，可排除B，D项．故选AC项． 14．已知幂函数f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k. (1)求m的值； (2)当x∈[1,2]时，记y＝f(x)，y＝g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围． 解析　(1)因为y＝f(x)为幂函数，所以(m－1)2＝1，解得m＝0或2. 当m＝0时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，满足题意； 当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意，舍去．综上，m的值为0. (2)由(1)知，f(x)＝x2. 因为y＝f(x)，y＝g(x)在[1,2]上单调递增， 所以A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]． 因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以解得0≤k≤1. 故实数k的取值范围为[0,1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$