2.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式(二) 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.不等式<0的解集为(　　) A.{x|1<x<2} B.{x|x<2且x≠1} C.{x|－1<x<2且x≠1} D.{x|x<－1或1<x<2} 答案　D 解析　<0⇔(x－2)(x－1)(x＋1)<0⇔x<－1或1<x<2，所以所求不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}.故选D项. 2.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y).若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则(　　) A.－1<a<1 B.0<a<2 C.－<a< D.－<a< 答案　C 解析　因为(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，且不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，所以(x－a)·(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝(－1)2－4·(－a2＋a＋1)<0，解得－<a<.故选C项. 3.不等式＞0的解集为(　　) A.{x|x＜－2或x＞3} B.{x|x＜－2或1＜x＜3} C.{x|－2＜x＜1或x＞3} D.{x|－2＜x＜1或1＜x＜3} 答案　C 解析　＞0，即＞0，即(x－3)(x＋2)(x－1)＞0，解得－2＜x＜1或x＞3.故选C项. 4.下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是(　　) A.{x|x＜－1} B.{x|－1＜x＜0} C.{x|0＜x＜1} D.{x|x＞1} 答案　A 解析　由题意知即 即解得 即x＜－1.故选A项. 5.(多选)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，则实数a的取值可能是(　　) A.－2 B.0 C.1 D.2 答案　BCD 解析　当a≠2时，所以－2<a<2；当a＝2时，原不等式化为－4<0，恒成立.综上，－2<a≤2.故选BCD项. 6.不等式≥2的解集为____________. 解析　不等式≥2，即－2≥0，即≥0，所以≤0，等价于x(x＋1)≤0且x≠0，所以－1≤x<0.所以不等式的解集为{x|－1≤x＜0}. 答案　{x|－1≤x＜0} 7.某商品在最近30天的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0<t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的取值范围为__________. 解析　由题意可得日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15.故t的取值范围为{t|10≤t≤15}. 答案　{t|10≤t≤15} 8.已知不等式ax2＋5x－2＞0的解集是. (1)求a的值； (2)求不等式＞a＋5的解集. 解析　(1)依题意可得ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，由根与系数的关系得＋2＝－，解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式得＞3，即－3＞0，整理得＞0，即(x＋1)·(x＋2)＜0，解得－2＜x＜－1，则不等式的解集为{x|－2＜x＜－1}. 9.关于x的不等式＜2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. 解析　因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0， 所以原不等式即4x＋m＜2(x2－2x＋3)恒成立， 所以m＜2x2－8x＋6恒成立. 设f(x)＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2，则f(x)min＝－2. 所以m＜－2.所以实数m的取值范围为{m|m＜－2}. 10.(多选)在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后，现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2，则下列判断错误的是(　　) A.甲车超速 B.乙车超速 C.两车均不超速 D.两车均超速 答案　ACD 解析　设甲的速度为x1，由题得0.1x1＋0.01x>12，解得x1<－40或x1>30.设乙的速度为x2，由题得0.05x2＋0.005x>10，解得x2<－50或x2>40.由于x>0，从而得x1>30 km/h，x2>40 km/h.经比较知乙车超过限速.故选ACD项. 11.已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是____________. 解析　当a2－4＝0时，a＝±2.当a＝2时，不等式为4x－1≥0，解集不是空集，与题意不符；当a＝－2时，－1≥0不成立，解集为∅.当a2－4≠0时，要使解集为∅，则有解得－2<a<.综上知，实数a的取值范围是. 答案　 12.某单位在对一个长80 m，宽60 m的矩形空地进行绿化，设计方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示.若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，求花坛宽度的取值范围. 解析　设花坛的宽度为x m，所以绿草坪的长为(80－2x)m，宽为(60－2x)m， 草坪面积为(80－2x)·(60－2x)＝4(x2－70x＋1 200)m2， 总面积为80×60＝4 800 m2，根据题意可得 4(x2－70x＋1 200)≥×4 800， 整理得x2－70x＋600≥0，解得x≥60或x≤10. 由题意知解得0<x<30，所以0<x≤10. 故当0<x≤10时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一. 13.求不等式＞0的解集. 解析　原不等式等价于(x－a)(x2－x－2)＜0⇔(x－a)(x－2)·(x＋1)＜0. 当a＜－1时，原不等式的解集为{x|x＜a或－1＜x＜2}； 当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x＜－1或－1＜x＜2}； 当－1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|x＜－1或a＜x＜2}； 当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＜－1}； 当a＞2时，原不等式的解集为{x|2＜x＜a或x＜－1}. 14.已知函数f(x)＝ax2－(a2＋1)x＋a(a＞0). (1)解关于x的不等式f(x)＜0； (2)若f(x)＞0在2≤x≤3上恒成立，求实数a的取值范围. 解析　(1)因为f(x)＜0，即(ax－1)(x－a)＜0(a＞0). ①当0＜a＜1时，a＜，不等式的解集为； ②当a＝1时，a＝，不等式的解集为∅； ③当a＞1时，a＞，不等式的解集为. (2)要使f(x)＝ax2－(a2＋1)x＋a＞0在2≤x≤3上恒成立，只需2≤x≤3时，f(x)的最小值大于零. ①当＞3，即0＜a＜3－2或a＞3＋2时，f(3)＝9a－3(a2＋1)＋a＞0，即＜a＜3，无解； ②因为(a2＋1)2－4a2＝(a2－1)2≥0，所以当2≤≤3时，题目条件不成立； ③当＜2，即2－＜a＜2＋时，f(2)＝4a－2(a2＋1)＋a＞0，即＜a＜2，所以＜a＜2. 综上所述，实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$