2.2 基本不等式 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.设函数f(x)＝x＋(x＞0)，则f(x)的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.6 答案　D 解析　因为x＞0，所以f(x)＝x＋≥2·＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，f(x)min＝6.故选D项. 2.(多选)已知a，b∈R，M＝a2＋b2，N＝2|ab|，则M，N的大小关系可能为(　　) A.不确定 B.M＝N C.M<N D.M＞N 答案　BD 解析　由基本不等式得a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立.故选BD项. 3.若a，b，c是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是(　　) A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.b＞a＞c D.a＞c＞b 答案　C 解析　因为a，c均为正数，且a≠c，所以a2＋c2＞2ac，又因为a2＋c2＝2bc，所以2bc＞2ac.因为c＞0，所以b＞a，可排除A，B，D项.取a＝2，c＝1，可得b＝，可知C项可能成立.故选C项. 4.已知x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y的最小值为(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 答案　B 解析　由题意得y＝，则x＋4y＝x＋≥2＝8，当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，所以x＋4y的最小值是8.故选B项. 5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m 答案　C 解析　设直角三角形框架的两条直角边长为x，y(x>0，y>0)，则三角形的面积为＝2，即xy＝4，直角三角形的斜边长为，因为x＋y≥2＝4，≥＝2，所以三角形框架的周长C＝x＋y＋≥4＋2≈6.83，当且仅当x＝y时，等号成立，故用7米的铁丝最合适.故选C项. 6.若正实数a，b，c满足3a－2b＋c＝0，则的最大值为________. 解析　因为3a＋c＝2b，且a，b，c为正实数，所以2b＝3a＋c≥2，当且仅当3a＝c时，等号成立，所以≤＝. 答案　 7.已知a＞b＞c，则与的大小关系是______________. 解析　因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立. 答案　≤ 8.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明　因为a，b，c都是正数，所以，，也都是正数. 所以＋≥2＝2c，同理＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 9.设函数f(x)＝(x>0). (1)求f(x)的最大值； (2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)<b2－3b＋. 解析　(1)f(x)＝＝≤＝2，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立. 所以f(x)的最大值为2. (2)证明：b2－3b＋＝2＋3， 当b＝时，b2－3b＋有最小值3， 由(1)知，f(a)有最大值2，而2＜3， 所以对任意实数a，b，恒有f(a)<b2－3b＋. 10.(多选)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的值可能为(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 答案　BCD 解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立.又(2a＋b)·＝4＋＋＋1≥4＋4＋1＝9，当且仅当a＝b时，等号成立.所以m≤9.故选BCD项. 11.若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是__________(写出所有正确命题的序号). ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. 解析　对于命题①，2＝a＋b≥2⇒ab≤1，①正确；对于命题②，令a＝1，b＝1时不成立，②错误；对于命题③，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正确；对于命题④，令a＝1，b＝1时不成立，④错误；对于命题⑤，＋＝＝≥2，⑤正确. 答案　①③⑤ 12.某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入.维护设备的正常运行，第一年各种费用为10万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加10万元. (1)求该设备给企业带来的总利润y万元与使用年数x(x∈N*)的函数关系； (2)这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？最大年平均利润是多少？ 解析　(1)由题意知，x年总收入为100x万元， x年维护总费用为10(1＋2＋3＋…＋x)＝5x(x＋1)万元， 所以总利润y＝100x－5x(x＋1)－180，x∈N*， 即y＝－5(x2－19x＋36)，x∈N*. (2)年平均利润为＝－5＋95， 因为x∈N*，所以x＋≥2＝12，当且仅当x＝，即x＝6时，等号成立.所以≤35. 故这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大年平均利润为35万元. 13.若对于所有的正数x，y均有＋≤a，则实数a的最小值为________. 解析　由题意可知＋≤a可化为a≥＝＋.又因为2＋2＝1，所以＋≤2·＝，当且仅当x＝y时，等号成立，所以a≥，故a的最小值为. 答案　 14.不等式2x2－axy＋y2≥0对于任意1≤x≤2和1≤y≤3恒成立，求实数a的取值范围. 解析　因为y≠0，所以对原不等式两边同时除以y2，得到22－a·＋1≥0，令t＝，则不等式变为2t2－at＋1≥0，其中t由x，y的范围可知≤t≤2，则原不等式恒成立转化为2t2－at＋1≥0在≤t≤2时恒成立.由2t2－at＋1≥0得a≤，即a≤2t＋，当且仅当t＝时，2t＋取得最小值2，且此时t＝满足t的范围，所以a≤2.故实数a的取值范围为{a|a≤2}. 学科网（北京）股份有限公司 $$