1.4 充分条件与必要条件 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，则A与B的关系是(　　) A.AB B.BA C.A＝B D.AB且BA 答案　A 解析　因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以x∈A⇒x∈B，x∈Bx∈A.所以AB.故选A项. 2.孟加拉虎，又名印度虎，世界第二大虎亚种，是目前数量最多，分布最广的虎亚种.孟加拉虎有四种变种，分别是白虎(全身白色，有黑色斑纹)，雪虎(全身白色，有淡淡的黑色斑纹)，金虎(全身金黄色，有黑色斑纹)，纯白虎(全身白色，没有斑纹).已知甲是一只孟加拉虎，则“甲全身白色”是“甲是纯白虎”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由“甲是纯白虎”可推出“甲全身白色”，由“甲全身白色”不能推出“甲是纯白虎”，所以“甲全身白色”是“甲是纯白虎”的必要不充分条件.故选B项. 3.若p：x＞0，q：|x|＞0，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由题意可知p⇒q，qp，所以p是q的充分不必要条件.故选A项. 4.(多选)设x∈R，则x＞2的必要不充分条件可以是(　　) A.x＜1 B.x＞1 C.x＞0 D.x＜0 答案　BC 解析　x＞2⇒x＞1，x＞1x＞2；x＞2⇒x＞0，x＞0x＞2.故选BC项. 5.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分不必要条件，那么(　　) A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案　A 解析　由已知得，甲⇔乙，丙⇒乙且乙丙，则丙⇒乙⇒甲且甲丙，即丙⇒甲且甲丙，所以丙是甲的充分不必要条件.故选A项. 6.使不等式0＜x＜2成立的一个充分不必要条件是____________. 解析　设充分不必要条件对应集合P，则P{x|0＜x＜2}，所以P可以为{x|1＜x＜2}，即充分不必要条件可以是1<x<2. 答案　1＜x＜2(答案不唯一) 7.已知p：m－1＜x＜m＋1，q：＜x＜，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________. 解析　因为p是q的必要不充分条件，所以集合是集合{x|m－1＜x＜m＋1}的真子集，即等号不同时成立，解得－≤m≤，故实数m的取值范围是. 答案　 8.(1)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＞3或x＜－1的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＞3或x＜－1的必要条件？ 解析　(1)欲使2x＋m＜0是x＞3或x＜－1的充分条件，则⊆{x|x＜－1或x＞3}，则只要－≤－1，即m≥2.故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x＞3或x＜－1的充分条件. (2)欲使2x＋m＜0是x＞3或x＜－1的必要条件，则只要⊇{x|x＞3或x＜－1}，这是不可能的，故不存在实数m，使2x＋m＜0是x＞3或x＜－1的必要条件. 9.已知a，b，c是△ABC的三条边，求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca. 证明　必要性：因为△ABC是等边三角形，a，b，c是△ABC的三条边，所以a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca. 充分性：因为a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca， 所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac， 即2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0， 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，即a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形. 综上所述，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca. 10.(多选)下列命题中为假命题的是(　　) A.x＞2且y＞3是x＋y＞5的充要条件 B.A∩B≠∅是AB的充分条件 C.两个三角形全等是两个三角形相似的充要条件 D.一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 答案　ABC 解析　对于A项，x＞2且y＞3⇒x＋y＞5，但x＋y＞5未必能推出x＞2且y＞3，如x＝0且y＝6满足x＋y＞5但不满足x＞2，故A项为假命题；对于B项，A∩B≠∅未必能推出AB，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，故B项为假命题；对于C项，两个三角形全等，则两个三角形相似，但两个三角形相似，不一定全等，全等是相似的充分不必要条件，故C项为假命题；对于D项，因为一个三角形的三边满足勾股定理能推出此三角形为直角三角形，条件不仅是必要的，也是充分的，故是充要条件，故D项正确.故选ABC项. 11.设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________. 解析　x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4，又m∈N*，取m＝1,2,3,4，验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3或4是一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件. 答案　3或4 12.已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围. 解析　依题意知，P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}， 因为x∈P是x∈Q的必要条件， 所以x∈Q ⇒x∈P，即Q⊆P， 所以解得－1≤a≤5. 故实数a的取值范围为{a|－1≤a≤5}. 13.已知集合P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}. (1)若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围； (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？ 解析　(1)P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P，则解得0≤m≤3. 即所求m的取值范围是{m|0≤m≤3}. (2)若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， 所以所以 所以不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件. 14.在中学阶段，对许多特定集合(如实数集)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数对组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α＝(a，b)，β＝(c，d)，规定：α⊙β＝(ad＋bc，bd－ac). (1)计算(2,3)⊙(－1,4)； (2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律，并给出证明； (3)若“A中的元素I＝(x，y)”是“对任意α∈A，都有α⊙I＝I⊙α＝α成立”的充要条件，试求出元素I. 解析　(1)(2,3)⊙(－1,4)＝(5,14). (2)交换律：α⊙β＝β⊙α，证明如下：设α＝(a，b)，β＝(c，d)，则α⊙β＝(ad＋bc，bd－ac)，β⊙α＝(c，d)⊙(a，b)＝(bc＋da，db－ca)＝(ad＋bc，bd－ac)，所以α⊙β＝β⊙α. (3)设A中的元素I＝(x，y)，α＝(a，b)对任意α∈A，都有α⊙I＝I⊙α＝α成立，由(2)知只需I⊙α＝α，即(x，y)⊙(a，b)＝(a，b)⇔(bx＋ay，by－ax)＝(a，b)， ①若α＝(0,0)，即a＝b＝0，显然有I⊙α＝α成立； ②若α≠(0,0)，则即恒成立，即解得 所以当对任意α∈A，都有α⊙I＝I⊙α＝α成立时，得I＝(0,1)，易验证当I＝(0,1)时，对任意α∈A，都有α⊙I＝I⊙α＝α成立，所以I＝(0,1). 学科网（北京）股份有限公司 $$