课时作业(9)等比数列的前n项和公式-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

混合后，黄河的含沙量为2X2000+20X1000=8kg7m, a4(2"-1)=93, 3000 7.解析由S,=93,a。=48,公比q=2,得 解 a1·2m1=48, 文从黄河流入1000m的水到洮河再混合后，洮河的含沙 a=3, 量为8X1000+20X1000=14kg7m. 得 n=5. 2000 (2)设在第n个观测，点时黄河的含沙量为4mkg/m,洮河的 答率53 含沙量为bkg/m,由题意得a1=2,b=20,且a+1= 8.解析设等比数列(a}的公比为q(g≠0).由已知条件可得 10006,t2000a=2a+6,h1=1006,+1000au (aiq-a=2, a(g-1)=2①， 。所以 解②得9=3 3000 3 2000 4ag=3a1+a1, d-4g+3=0②. 出=4十2弘，所以b1-a1=子么-a,又M 或g=1.由于a1(g-1)=2,因此q=1不符合题意，应舍去. 2 3 故公比q=3,首项1=1.所以数列{au}的前n项和Sn= a=18≠0，所以6，一a}是首项为18，公比为号的等比数 =1x2-2weN. 1一9 1-3 列，所以6-a,=18×(3)）.根据题意，有18× 霸2EN) (号）<0.01，即3>180.nEN,解得>7，所以从第 9.解析(1)由题意有S十S2=2S,即a1十(a1十a1q)=2(a1十 8个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m. a1g十a4g),由于a1≠0，故2对+g=0,又9≠0，从而g-2 课时作业（九） (2)由已知可将a-a(-号）'=3，故a1=4. 1.c层霸会-s@目 2x[1-(号)] [-(-)门 从而S。= 1一9 1-(-2) 8[1-(-2)] 4×(1一2®)=4一2“.故选C项. 10.解扬(1)因为a+3a:+3a十…+3a,=号，所以a1十 2.D解析因为a,=2×3”一1，所以数列{am}是以2为首项，3 为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以 3a十3a+…+3a1=”写（n≥2)，两式相减得 6为首项，9为公比的等比数列，则新数列的前n项和为S。= 6(1-9)_3(9-卫.故选D项。 3a,=号-”写=言m≥2，所以a.=≥2.当n= 1-9 4 3.D解析由8a2十a=0得8a1g十a1g=0,因为a1≠0,9≠0， 1时a=号色满足上式，故a,=n∈N) 1-(一2) 所以一-2，则·二艺 1+29 (2)由(1)可得6，=”=n·3”,所以5.=1×3+2X32+3× 1-2 =一1山，故选D项. 5a·1-(-2 .1-(-2)9 3+…+n·3"①，①×3得3S=1×32+2×33+3× 4.D解析设等比数列{an)的公比为q,因为a=3a3,所以g 3+…十n·31②，由①-②得-25=3+3+3+…+ 3,所以丝+4++…+2=q十矿十q+…十= -3,中-28-写-…3， 1-)-3X(1-3)=3,-3.故选D项. 1-9 1-3 2 所以s-2.3+是m∈N) 4 5.B解析由S2=3a2十2，S.=3a4+2,得a十a1=3a-3a, 1.Ac霸因为a>1,a7a>1,20,所以>1.0 即十=3对-3，解得=-1（含去）或9=号，将q=号代 ag<1,所以0<1，故A项正确：又a7a=a<1,故B项 入S=3a:十2中得a+号a=3X号a十2，解得a1=-1. 正确：因为0<q<1,a>1,0<as<1,所以T是数列(T.} 中的最大项，故C项正确：因为a:>],0ag<1,所以S,的 故选B项 最大值不是S,故D项不正确.故选ABC项. 6.解析设从上到下第n(n∈N°，l≤r8)层的浮雕数为am,公比为 49=6, 解得=3.」 所以S=41-2) 12.BC q,由题意可知， 团S6m=9X=9,因为下一个三角形的面 ag=48, q=2, 1一g 积依次为上一个正三角形的面积的倍，所以第三个正三 3×(1一2)=765，即这8层浮雕的总数为765. 1一2 答室765 角彩的面积为×（仔）广=酒故A项错误，B项正 ·167· 确：又根据条件，第一个内切圆的丰径为号×8=号，西软 6 (侵+}+…+）2=1-(1-）-22” 为子，第二个内切国的半径为气，面积为最，…，这些 3 是，所以S=码，当刀=1时也成立.综上所迷，数列 内切圆的面积组成一个等北数列，首项为是，公比为子， 马}的前n项和5=2是nEN, 3 课时作业（十） 故面积之和为 =(1-),故C项正，D 1.C 解析因为aa=3S:十2，a4=3S十2，所以a4一aa= 项错误，故选BC项. 3(S-S)=3a,即a=4a,所以g=丝=4.故选C项. a 13.解析由于 a1十a=4, 解得 a=1, 由a+1=Sw+1-S a2=2a1+1, 2.A解析因为S,一S-1=an(n≥2且n∈N”),且(S.}是等 ae=3. 差数列，所以a。为定值，即数列{n}为常数列，所以g= 2S+1得S+1=3S+1,所以S+1+号=3(S.+号），所 =1(n≥2且n∈N故选A项. dx-1 以{S十号}是以号为首项，3为公比的等比数列，所以 3.A解折因为a,十as十a=S-S,且S,Ss-S,S-S 8十-×3，即=32，所以=121. 也成等比数列，即8，一1，S一S成等比数列，所以8(S 2 答索1121 s)=l,即S-8=日，所以a,十a十a=日，故选A项. S=6, 得 4.A解析小球10次着地共经过的路程为100十100十50+ 14.解折设等差数列{an}的首项为a,公差为d.由 S=66. 25+…+10×(号）广=2999≈300（米.故选A项 2a+d=6, a1=1, 解得 所以an=4n一3，所以2，= 6a+15l=66,”d=4, [So-13SI, So=10. 5.C 解析由S0=13S,知广1，由 2-3=2×161,所以{2}是以2为首项，16为公比的等比 S+S=140,S=130. 裁列，所以载到2的育u项和为是16-1》。 由等比效列的前n项和的性质得So,S,一So,Sm一Sm成 等比数列，则(S一S)2=S。(Sn-S),即(S,-10)2 系忌16-D 10(130-Sm),解得S=40或S=一30（舍去）.故选C项. 6解析设{a}的公比为g,则奇数项也构成等比数列，其公比 15.解析由题意先估计：两天不够，三天又多，设需要x天，则 为g,首项为a1,当q=1时，S4=1,S=2m1,则S=2S 可得1+2+4x-2)+1+号+x-2)=5,解得x 不合题意，合去，所以S=2）.54=门 1-g 1- 2号脚2号天两只老鼠相通。由题意可知，大老鼠前n天 0.由题意得402_空，所以1+g=3, 1-f 1-9 1- 的打洞长度为二 =2”一1（尺），小老鼠前n天的打洞长 所以q=2. 1-() 答率2 度 1- =2-(3) (尺)，所以S=2一1+2 7.解析令X=a1十a十…十a9g=60,Y=a2十a4十…十a1m,则 Sm=X十Y,由等比数列前m项和的性质知卡=9=子，所 (）=2-(2)+1 以Y=20,即S1m=X+Y=80. 2号2-（号）+H 答室80 8解析用a表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意得 16.解析(1)设等差数列{am}的公差为d,由已知条件可得 1a+d=0, a1=1, dg+1= a,因此数列{a,}是首项a1=25,公比g=告的等 解得 2a1+12d=-10, d=-1. 比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度为Sm=a1十a2十 故数列{an}的通项公式为an=2-n,n∈N”, 25×[1-()门 (2)设数列{2二}的前n项和为S即5=a+ 十…十 a+…+a,=a1-2_ 1-q 1- (号)门<125，故这个热气球上升的高度不能想过125m 时，①-②得=4十，十…+42 2 2-1 da =I- 答系不能 ·168·课时作业（九） 等比数列的前n项和公式 答案见P 基础训练 8.在等比数列{a.}中，ae一a1=2,且22为3a1和d 一、选择题 的等差中项，则数列{an}的前n项和为 1.在等比数列{an}中，a1=2,a2=1,则S10= 三、解答题 9.设等比数列{a}的前n项和为S.,S,S,S:成等 A.4-210m B.4十2om 差数列. C.4-2-m D.4-2-10w (1)求数列{a.}的公比q: 2.已知在等比数列{an}中，an=2×3"一1，则由此数 (2)若41-=3，求S. 列的偶数项所组成的新数列的前n项和S.的 值为 A.3m-1 B.3(3"-1) C D.3(9”-1) 4 3.设S为等比数列{a》的前n项和，8a2十a=0, () A.11 B.5 C.-8 D.-11 4.已知在等比数列中，=3a,则2+十十…十 a d2 da d2n an 10.设数列{an}满足a1十3a2十3a十…十3-an= A3-3 B3-3 2 2 3n∈N c号 D.31-3 (1)求数列(a.}的通项公式： 2 (2)设b,=”,求数列{6.}的前n项和S 5.设公比为q(q>0)的等比数列{am}的前n项和为 S.若S2=3a2+2,S=3a+2,则a1=() A.-2 B.-1 c 号 二，填空题 6.河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世 界非物质文化遗产之一，某洞窟的浮雕共8层， 它们构成一幅优美的图案，各层浮雕数成等比数 列，第二层浮雕数为6，第5层浮雕数为48，则这 8层浮雕的总数为 7.已知S.为等比数列{a.}的前n项和，Sn=93, am=48,公比q=2,则项数n= ·93· I能力提升川 天后两鼠相遇.如果墙足够厚，设前n 1山.（多选）设等比数列{am}的公比为q,其前n项和 天两只老鼠的打洞长度之和为S。尺，则S。= 为S。,前n项积为T.,并且满足条件a1>1, ,。一0，则下列结论正确的是( 4?as>1,4-1 16.已知等差数列{a.}满足ag=0,a6十a=一10. ) (1)求数列{a.}的通项公式： A.0q<1 B.aias<1 (2)求数列2二}的前n项和。 C.T.的最大值为T, D.S.的最大值为S: 12.(多选)如图所示，作边长为3的正△ABC的内 切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作 新三角形的内切圆，如此下去，则下列说法正确 的是 A.△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三 角形的面积为”。 B.△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三 角形的面积为瓷 Cn个内切圆的面积和为1一子)x D.n个内切圆的面积和为31-子)方 13.设数列{an}的前n项和为Sm.若S2=4,a+1 2Sn十1，n∈N”,则a1= ,S= 14.已知等差数列{a.}的前n项和为S。,S=6, S=66,则数列{2的前n项和为 拓展探究川 15.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问 题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠 也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相 逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边 分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天 加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ·94✉