课时作业(8)等比数列的性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时作业（八） 等比数列的性质 答案见P 基础训练川 8.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回 一、选择题 了5个伙伴：第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回 1.若等比数列(a,的公比g=}a1=2,则数列 了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续 下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂 {an}是 的数量为 A.递增数列 B.递减数列 三、解答题 C.常数列 D.无法确定 9.已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的 2.某工厂生产总值连续两年的年增长率依次是p, 平方和为91，求这个等比数列. q,则这两年的年平均增长率是 A生 B.qp C.(1+p)(1+q)-1 D.√(1-p)(1-q)-1 3.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次 构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为 A号 B.3 C士号 D.±3 4.公比为2的等比数列{a.的各项都是正数，且 10.在等比数列{an}中，a1>1,公比g>0.设bn= aa:=16,则loga16= logaa,且b1十b3十bs5=6,bbb=0. A.4 B.5 (1)求证：数列{b.}是等差数列： C.6 D.7 (2)求{b}的前n项和S.及{a.}的通项公式am 5.(多选)设{a.}是等比数列，有下列四个命题，其 中正确的是 ( A.{a}是等比数列 B.{adw+1是等比数列 C日)是等比数列 D.{lga.}是等比数列 二、填空题 6.已知数列{an}是等比数列，且am>0,aa6十 2a:a6十a5a=81,则a1十a5= 7.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等 于64，则这三个数所构成的等比数列是 ·91 I能力提升I (1)求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量： 11.已知数列{au}满足a.≠0，则“a1a,=aa”是 (2)从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之 “{an是等比数列”的 ( 差小于0.01kg/m(不考虑泥沙沉淀)？ A.充分不必要条件 B.充要条件 C必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 12.(多选)若一个数列的第m项等于这个数列的前 m项的乘积，则称该数列为“n积数列”若各项 均为正数的等比数列{an}是一个“2024积数 列”，且a1>1,则当其前n项的乘积取最大值 时，n的值可能为 ( A.1009 B.1010 C.1011 D.1012 13.在等比数列{an}中，若aat=6,a4十a1u=5,则 d型三 d10 14.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意 思.今共有粮98石，甲，乙、丙按序衰分，乙分得 28石，则衰分比例为 I拓展探究川 15.各项互不相等的等比数列{a.}满足as·a:= a·a则十的最小值为 16.黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自 于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水 呈现黄色，黄河的水源来自青海高原，从源头开 始1000千米的河水是非常清澈的.只是在刘家 峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮 河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一 浊，互不交融，形成了一条奇特的水中分界线 设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000m/s, 黄河水的含沙量为2kgm,洮河水的含沙量为 20kg/m,假设从交汇处开始沿岸设有若干个 观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程 中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换 1000m3的水量，即从洮河流人黄河1000m 的水混合后，又从黄河流人1000m的水到洮 河再混合. ·92·士3.故这个等比数列为1,3,9或一1,3，一9或9,3,1或-9， 课时作业（八） 3,-1. 、1 1.B愿ǖ因为等比数列{a,}的公比g=a1=2,故am>0, 10.解析(1)证明：由题意可得bn+1一b,=log2a+1一loga。= 且a。逐渐减小，所以数列{am}是递减数列.故选B项。 log曰=logq(g>0)为常敦，所以数列{6，}是等益数列且 2.C解析设这两年的年平均增长率为x,则(1十x)=(1十p)· 公差d=log2g. (1十q),所以x=x1+)(1十q)一1.故选C项. (2)因为{b.}为等差数列，b十十=6，所以3=6，即b= 3.B解析设等差数列为{am},公差为d,d≠0，则a=a·a6, 2.又因为a1>1,所以b=loga>0,又因为6b=0,所 所以(a十2d)=(a1十d)(a1十5d),化简得d=-2a1d,因 6=2,6+2d=2, =4, 以%=0，即 所以 解得 因此 为d≠0，所以d=一2a1,所以a2=一a1,aa=一3a,所以g= b=0. b+4d=0, d=-1.1 =3.故选B项. 42 S=n+"”2×(-1D="2平.又周为d=g9=-1, 4.B解析因为a1a1=16,所以a=16.又因为am>0,所以 h=g山=4，所以q=2,4=16,所以4=2(neN) a=4,所以a16=ad=2,即log2a6=5.故选B项. L.C解粉如果a1=1,=2,a=8,a1=16,满足41a4= 5.ABC解折由{a,}是等比数列可得a血=g(g为常数).A项 dl aa,但(an}不是等比数列：反之，若{am}是等比数列，则根 中=(（2）广=为含数，故A项正确：B项中出= 据等比数列的性质可知aa4=a2a,所以“a1a=aa3”是 (a-1Clxe “{an}是等比数列”的必要不充分条件.故选C项. 1 中=为常数，故B项正确C项中， =4-=1 l2.CD解析由题意可知a1aaae4=ag4,故aaa·…· da-1 a:购=1，由于{a}是各项均为正数的等比数列且a1>1,所 为常量，故C项正确：D项中，不一定为客其，故D 以a1a12=1,公比0<q<1,所以a11n>1且0<a1o1a<1,故 当数列{an}的前n项的乘积取最大值时，n的值为1011或 项错误.故选ABC项. 1012.故选CD项. 6.解析因为数列{am}是等比数列，且aa十2a4a%十asa=81l, 13.解析因为{am}是等比数列，所以a·a1=a4·a:=6,文 所以a十2a1a6十a=81,所以(a1+as)2=81,又aw>0,所 a4=2,, a4=3 以a1十a6=9. a+a4=5,所以 或 因为型=g,所以 a4=3la14=2. a 答系9 7.解损设这三个数所成等比数列中的项依次为4，Q,g,则 -我-68器-所以8器-号号 410 号+a+ag=14,号·a·a9=64,即a(1+十)=14. 昏系号或 14.解析设衰分比例为9，则甲、乙、丙各分得2石，28石，28测 口=64，解得a=4g=或9=2，故这三个数所构成的等比 数列为8,4,2或2,48. 石，所以28+28+28则=98，所以q=2或2.由题意知0< 答率8,4,2或2,4,8 1 1,所以q=2: 8.解析设第n天蜂巢中蜜蜂的数量为aw,根据题意得数列{a} 成等比数列，1=6，g=6,所以{un}的通项公式a,=6×6-1= 哈系 6,到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a%=6 46656(只)蜜蜂. 15.服扬由题意知m十=5十7=12，即登+登=1(m,n∈ 答率46656 N.则品+=（品+）（登+是）=是+m 9厨罚设这三个数所成等比数到中的项依次为号Q,g、由题 器>是+2n·册=是，当且仅当4m=时，等号 a·a·aq-27, 意可知 ++g=1.e(+1+r)=1. 得 成立，此时m=4,m=8,所以十号的最小值为子 管系 9一82十9=0，解得=日或=9所以9=士号或 16.解析(1)在第二个观测点时，洮河流入黄河1000m的水 ·166· 混合后，黄河的含沙量为2X2000+20X1000=8kg7m, a4(2"-1)=93, 3000 7.解析由S,=93,a。=48,公比q=2,得 解 a1·2m1=48, 文从黄河流入1000m的水到洮河再混合后，洮河的含沙 a=3, 量为8X1000+20X1000=14kg7m. 得 n=5. 2000 (2)设在第n个观测，点时黄河的含沙量为4mkg/m,洮河的 答率53 含沙量为bkg/m,由题意得a1=2,b=20,且a+1= 8.解析设等比数列(a}的公比为q(g≠0).由已知条件可得 10006,t2000a=2a+6,h1=1006,+1000au (aiq-a=2, a(g-1)=2①， 。所以 解②得9=3 3000 3 2000 4ag=3a1+a1, d-4g+3=0②. 出=4十2弘，所以b1-a1=子么-a,又M 或g=1.由于a1(g-1)=2,因此q=1不符合题意，应舍去. 2 3 故公比q=3,首项1=1.所以数列{au}的前n项和Sn= a=18≠0，所以6，一a}是首项为18，公比为号的等比数 =1x2-2weN. 1一9 1-3 列，所以6-a,=18×(3)）.根据题意，有18× 霸2EN) (号）<0.01，即3>180.nEN,解得>7，所以从第 9.解析(1)由题意有S十S2=2S,即a1十(a1十a1q)=2(a1十 8个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m. a1g十a4g),由于a1≠0，故2对+g=0,又9≠0，从而g-2 课时作业（九） (2)由已知可将a-a(-号）'=3，故a1=4. 1.c层霸会-s@目 2x[1-(号)] [-(-)门 从而S。= 1一9 1-(-2) 8[1-(-2)] 4×(1一2®)=4一2“.故选C项. 10.解扬(1)因为a+3a:+3a十…+3a,=号，所以a1十 2.D解析因为a,=2×3”一1，所以数列{am}是以2为首项，3 为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以 3a十3a+…+3a1=”写（n≥2)，两式相减得 6为首项，9为公比的等比数列，则新数列的前n项和为S。= 6(1-9)_3(9-卫.故选D项。 3a,=号-”写=言m≥2，所以a.=≥2.当n= 1-9 4 3.D解析由8a2十a=0得8a1g十a1g=0,因为a1≠0,9≠0， 1时a=号色满足上式，故a,=n∈N) 1-(一2) 所以一-2，则·二艺 1+29 (2)由(1)可得6，=”=n·3”,所以5.=1×3+2X32+3× 1-2 =一1山，故选D项. 5a·1-(-2 .1-(-2)9 3+…+n·3"①，①×3得3S=1×32+2×33+3× 4.D解析设等比数列{an)的公比为q,因为a=3a3,所以g 3+…十n·31②，由①-②得-25=3+3+3+…+ 3,所以丝+4++…+2=q十矿十q+…十= -3,中-28-写-…3， 1-)-3X(1-3)=3,-3.故选D项. 1-9 1-3 2 所以s-2.3+是m∈N) 4 5.B解析由S2=3a2十2，S.=3a4+2,得a十a1=3a-3a, 1.Ac霸因为a>1,a7a>1,20,所以>1.0 即十=3对-3，解得=-1（含去）或9=号，将q=号代 ag<1,所以0<1，故A项正确：又a7a=a<1,故B项 入S=3a:十2中得a+号a=3X号a十2，解得a1=-1. 正确：因为0<q<1,a>1,0<as<1,所以T是数列(T.} 中的最大项，故C项正确：因为a:>],0ag<1,所以S,的 故选B项 最大值不是S,故D项不正确.故选ABC项. 6.解析设从上到下第n(n∈N°，l≤r8)层的浮雕数为am,公比为 49=6, 解得=3.」 所以S=41-2) 12.BC q,由题意可知， 团S6m=9X=9,因为下一个三角形的面 ag=48, q=2, 1一g 积依次为上一个正三角形的面积的倍，所以第三个正三 3×(1一2)=765，即这8层浮雕的总数为765. 1一2 答室765 角彩的面积为×（仔）广=酒故A项错误，B项正 ·167·