课时作业(7)等比数列的概念及简单表示-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时作业（七） 等比数列的概念及简单表示答案见P 基础训练 三、解答题 一、选择题 9.设a,a2,a,a4是各项为正数且公差为d(d≠0) 1.已知a,是等比数列a=2a=}则公比g 的等差数列.证明：2,2,2,2依次构成等比 数列. A司 R-司 C.2 D.-2 2.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是一1，一16 的等比中项，则ab= () A.6 B.12 C.-6 D.-12 3.在等比数列{am}中，am>0,且a十a3=1,a十 a4=9,则a4十a5的值为 ) A.16 B.27 C.36 D.81 4.已知等比数列{a.}的前三项依次为a一1，a十1， 10.数列{a.}满足a1=一1，且a.=3an-1一2n十 a十4，则aw= 3(n=2,3,…). A4×(经” R4×(号)厂 (1)求a2,ag,并证明数列{an一n}是等比数列； (2)求数列{a.}的通项公式. C4×(是) n4x(侵) 5.已知在等比数列{aw}中，a=1.公比q≠1.若 am=a1d241d1as,则m ( A.9 B.10 C.11 D.12 二，填空题 6.在等比数列{an}中，若=3，a0=384,则公比 9= 7.已知{a.}是等差数列，公差d不为零.若a2,aa, a,成等比数列，且2a1十a2=1,则a= d= 8.若{an}为等比数列，且ag十a=4,ag=2,则通项 公式an= ·89 1能力提升川 ‖拓展探究 1山.（多选）有下列四个命题，正确的是 15.已知在等差数列{a.)中，a2十a=16,a1+1, A.等比数列中的每一项都不可以为0 a2十1，a十1成等比数列，把各项按如图所示的 B.等比数列中公比的取值范围是（一∞，十∞） 形状排列，则从上到下第10行、从左到右的第 C.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的 11个数值为 公比为1 D.若？=ac,则a,b,c成等比数列 12.已知等比数列{am}中，各项都是正数，且d, 之a,2a,成等差数列，则十a= az十ag ( A.1+2 B.1+22 16.设关于x的二次方程ax2一a+1x十1=0(n一 1,2,3,…)有两根a和3，且满足6a-2a3十 C.3+2/2 D.3+/2 63=3. I3.已知数列{an}满足aw+1=a。一1(n∈N,入∈R (1)试用aw表示a+1: 且入≠0)，且数列{an一1}是等比数列，则入的值 为 :若数列{an一1}的首项为2，则 (2)求证：a.一号是等比数列： {an}的通项公式an= (3)当a=看时，求数列a的通项公式 14设a,6c是实数，3a,6,c成等比数列，且。 方，成等差数列，求号+台的值 ·90·11.B解析因为等差数列前n项和中，S,-1=(2n-1)a,所 1 1 则 以S=a,五=%，所以产-器-淡8-票所以 /SS>(4n+1(4n+54n中4n+5 故 袋-导故选B项 1 11 1 4n 12.C解析由题意可得，小刘从第一天开始每天跑步的路程 4n+4m+5-54m+55(4n+5) 依次成等差数列，且首项为1千米，公差为0.5千米.设他 15.解析由图可知，前n个拐弯处的数依次是4,6,10,14,20， 经过n天后完成健身计划，则×1+n",1D×0.5≥280， 26,34,42,52,…①，经观察，从第二项开始孩数列的每一 2 项减去前一项，得到新数列2,4,4,6,6,8,8,10,10，…②， 整理得n2十3n-11200,解得n≥32.故选C项。 把数列①的第一项添在数列②的前面得4,2,4,4,6,6,8,8， 13.ACD解颈周为a=7a=1-2=-1.a=1-(-D= 10,10,…③，观察数列①和③发现原数列①的第n项4m 等于数列③的前n项和，即a1=4,ag=4+2=6,a:=4+ 2a=1-3-号a=1-2=-1a,=1-（-D=2,所以 2十4=10，a4=4十2+4+4=14，…，故第30个拐弯处的数 数列{a.}是周期数列，且周期是3，所以ag5=aa×5+1三 a0=4+2+4+4+…+28+28+30+30=2+2×(2+4+ a=2,故A项正确：被5除余1的数是5(n-1)十1 1 6+…+30)=2+2×2+30)X15=482. 2 5n4,n∈N°，是首项为1，公差为5的等差数列的通项公 答案482 式，即a.=5n-4,因为a0=5×40-4=196<200,a41=5× 16,服损（1)周为点(0，S)在高数y=号2+号x的因象上， 41一4=201>200，所以200个数字中，有40个数被5除余 1,故B项错误：因为载列a为等差数列，所以载列会}为 所以S=2r+7n①， 当≥2时.S1=号m-1P+m-1)@. 等差数列，设其公差为山，又氵-》=4d=4,解得d=1,又 ①-②得au=1, 国为产=a=1,所以于=，即5=，所以S。=10,故 当n=1时a=S=名十号=1，符合上式 C项正确；根据条件可得2=cw,因为c1,c2,…,c是以1 所以am=n(n∈N”). 为首项，2为公差的等差数列，所以=c0=1十(20一11)X 2=19,故D项正确.故选ACD项. ②加u-则ad号（日 14.解析(1)方法一当n=2时，S:=2(a2一4)，又a:=14,所 所以T=[(1-3)+(合)+（令-吉）+ 以a1=6,由S,=n(an-4n+4),n∈N”知，当n2时，S1= (n-1)·[a-1-4(n-1)+4], (日)】 相减得(1-1)am一(n-1)a。-一8(n-1)=0,即am一a-1= =(+合点 8,故{am}是等差数列， 由a2=14,得an=14+(n-2)×8=8n-2. =是（品+2）： 方法二由S。=n(am一4n十4)，n∈N”,得S=n(S. S。-1-4n十4)，n∈N(n≥2)， 所以T1-T,=(n+)m十3)>0， 中a-1DS-S1=4(m-1D…则务-号=4故 所以数列T}单调造增，所以(T)m=T=子 {倍}是等差数列。 要使不等式T>}log1一a)对任意正梦数n位成立，只 当n=2时，S=2a一，又=14，所以a=6,所以 要}>}1og1-a)恒成立即可， 6,剥S=6+40m-1)=4m+2,即S=4n+2m, 因为1-a>0,所以0<a<1,所以1-a>0,即a<号，所以 所以au=S.-S.-1=4n2+21-[4(n-1)2+2(n-1)]=8n 0<a<2,即实数a的取值范周为(0，）： 2(n≥2)， 当n=1时，a1=6.满足上式.所以am=8一2. 课时作业（七） (2)运明：由于，习=m+2m<4m+2+ =2n十 1.A解析由题意可得a=a1q=2 ①a=ag=} ②， =4十1 2 2 由回÷①得日=青，所以g=之故选Λ项 ·164· 2A0题由题意释a=1告-号，=-1X(-160)=16, 13.照数由a1=a,-1,得a1-1=a.一2=x(a,一子)为 则b=士4，所以ab=士6.故选AC项. 3.B解析因为a,十a2=1,a十a:=g(a1十a2)=9,所以(= 由于数到山。一1是等比数到，所以号=1，解得=2周为 9.所以g=3(q=-3含去)，所以a十a5=(a4十a:)g=27. 首项为2，所以4n一1=2×2-1=2"，即a=2"十1. 故选B项. 答案22"十1 4.C解析由题意知(a十1)尸=(a一1)(a十4)，解得a=5,所以 14.解析因为3a,4h,5c成等比数列，所以16=15ac①.因 号-受又a一1=4，所以能列a是首项为4，公 为成等列，所以号=日+ ②.由①得 比为号的等比数列，所以a,=4×(受）厂.故选C项。 15ac=64③.起@代入③.得（日+）'·15ac= 4 5.C解析由题意得a=deaa=dg”=g”.又a=a1= ",所以m一1=10，所以m=11.故选C项. 64,所以（信++品）·a0-所以+是- 6.解析由题意可知aa=a1(=3,an=a1=384,两式相除得 15.解析由a:+a4=16,得a1+2d=8①，由a1+1,a:十1， q=128,所以q=2 a4十1成等比数列，得(ag+1)=(a1+1)(a+1),化简得 答系2 a1一d=-1②，由①②得a1=2,d=3.所以an=3n-1. 7.解析因为a2,4a,a成等比数列，所以a=aa;,所以(a,十 由题图可知，第1行1个数，第2行3个数，第3行5个数， 202=(a+dD(a1+6d),即2d+3a1=0①.又因为2a+ 第4行7个数，第5行9个数，所以第n行有2n一1个数，所 4=1,所以a十d1②.0@解得a-号d=- 以前9行个数的总数为1十3十5+7+…+17=81，所以第 号 -1 10行第11个数为数列{am}中的第92项，即ar=3×92 (aig+arq=4, 4=2. 1=275. a=-1, 8解析由题意得 解得 或 所 a9=2, g=1 g=-2. 答系275 以a=2或a。=一(-2)-1. a十Baa出， 答索2或一(-2)"1 16.解析(1)根据根与系数的关系，得 代入题设条 国周为会=2=20a=1,23)是同-个舍数，所以 98-1 2,2,20,2依次构成等比数列. 件6(a十8)-2a3=3,可得6a=-2=3.所以a1 10.解扬(1)由已知条件可得a2=3a1-2×2十3=一4，a= 1 3a:-2×3+3=-15.又因为a-1=-2,且41+D d-n 3,-2(m+1)+3-(m+D_-3a-3m-3(m=1,2,3,…). (2)证明：由1)可知a1=号a,十号，所以a1-号 am一n 所以数列{a一n是以一2为首项，3为公比的等比数列. 合(a.-号）).若a=号，则方程ar2-a1r+1=0,可化 (2)由(1)知a。一n=一2×3-1，所以am=n-2×3-, n∈N”. 为号2-号x+1=0,即2r-2z+3=0.此时4= 11,AC解析对于A项，因为等比数列中的各项都不为0，所 （-2-4X2X3<0,所以可得a≠号，即a,-号≠0.所 以A项正确：对于B项，因为等比数列的公比不为0，所以 B项不正确：对于C项，若一个常数列是等比数列，则这个 以数列{口，一号}是以为公比的等比数列。 常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所 以C项正确；对于D项，只有当a,b,c都不为0时，a,b,c才 ③当a=时一号=所以载到a一号}是首项为 成等比数列，所以D项不正确.故选AC项. 12.C服颈由题意可得2X号=a十2ae,即a=4十2ae, 合公比为的等比数列.所以-号=×（） 整理得(=1十2g,解得9=1士√2，因为各项都是正数，所 (号）广，所以a=景+（号）》”m=12.3… 以g>0,即g=1十2.所以+=4士a==3十 4:十a8a:十ag 所以数列a}的道项公式为a.=号+（号）广，n=1,2. 22.故选C项. 3,, ·165·