培优训练(1)(范围：4.1～4.2)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

培优训练（一） 答案见P (范围：4.1~4.2) 基础训练川 三、解答题 一、选择题 9.已知Sn为等差数列{an)的前n项和.若ag十as 1.已知数列{an}满足a1=3,a+1=an十21，则as= 5,S1=7. (1)求aw: A.5 B.7 C.9 D.11 1一，求数列{的前n项和T 2.已知等差数列{an}满足a1=一2，a6十a%=20,则 （2)i记b,=aa3+ {an)的公差为 ( A.-2 B.2 C.4 D.6 3.设am=21一9，则当数列{a.的前n项和取得最 小值时，的值为 () A.4 B.5 C.4或5D.5或6 4.(选)等差数列{a}的公差为d,前n项和为 S.,当首项a1和d变化时，a4十a%十aa是一个定 值，则下列各数也为定值的有 A.ar B.as C.Sis D.Si 5.(多选)下列有关数列的说法正确的是 ( A.数列一2025,0,4与数列4,0，一2025是同一 个数列 10.在①a1=13,Sm=-5:②a3=7,=-5: B.数列{am}的通项公式为a.=n(n+1),则110 ③S=30,S=35这三个条件中任选一个，回答 是该数列的第10项 下列问题，已知等差数列{an}满足 C在数列1w2,w3,25,…中，第8个数是2√2 (1)求数列{au}的通项公式： D.数列3,5,9,17,33，…的通项公式为a=2十1 (2)求数列{a}的前n项和S。,以及使得S.取 二、填空题 得最大值时n的值. 6.若数列{an的前n项和S。=”二，则其通项公式 为 7.一个车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输 任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔10min发 出一辆，假设所有司机都连续开车，并都在19时停 下来休息.已知每辆车行驶的速度都是60km/h,则 这个车队当天一共行驶了 km. 8.张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用某APP 记录每天的运动步数.在11月，张大爷每天的运 动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现 前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动 步数是15.8万步，则张大爷在11月份的运动步 数是 万步 ·87✉ I能力提升Ⅱ ‖拓展探究 11.设数列{a.},(b)均为等差数列，它们的前n项 15.将正偶数排成如图所示的螺旋状，第一个拐弯 和分别为S,工，若产-则哈=（ 处的数是4，第二个拐弯处的数是6，第30个拐 弯处的数是 A B易 c品 D 42+44+46+48→50+52 t 4014→16-18+2054 12.跑步是一项有氧运动，能提高体内的基础代谢 38122→42256 水平，加速脂肪燃烧，养成易瘦体质。小刘最近 给自己制定了一个280千米的跑步健身计划， 3610+8+624: 他第一天跑了1千米，以后每天比前一天多跑 34-32+301-28-26 0.5千米，则他要完成该计划至少需要() 16.已知数列(a的前n项和为Sa,点(n,S)(n∈N) A.30天B.31天C.32天D.33天 在函数)=号r+的图象上， 13.(选)下列说法正确的是 ( (1)求{a.}的通项公式： A若数列a满足山=合a1=1一d则 (2)设数列，】的前n项和为T,若不等式 a+ T>log(1-a)对任意正整数n恒成立，求实 B.在1,2,3，…，200中，被5除余1的数共有41个 数a的取值范围. C.在等差数列{a中，a1=1,其前n项和为S。, 若S%一352=24，则S1=100 D.若有穷数列a1,ae,…,am(m为正整数)满足 条件a1=am,a2=aw-1,…,dm=a,则称其为 “对称”数列，如数列1,2,5,2,1与数列8,4， 2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对 称”数列(cn中，c112.…,1是以1为首项， 2为公差的等差数列，则c=19 14.已知数列{an}的前n项和为Sm,且满足S,= n(an-4n+4)(n∈N),a=14. (1)求数列{a}的通项公式： +…+ SS+1 5(4n+5) ·88减,当n一6或7时,S.最大,所以(S.)有最大项,最大项是 7.解析由题意知,第一辆车行驶的路程为(19一14)×60-300(km). S..S.且S.-S-42. (3)由图象得S.)中有12项大于零 16.解析(1)根据已知条件可设等差数列a.)的公差为d,则 15辆车行驶的路程构成首项为300,公差为一10的等差数 fa。=a:+d-15. 列,则15辆车行程的路程之和为Sn-300×15+15×14× a-17, 解得 s.-5at54-65.,# 所以a.-a十(n- 2 一2. 2 (-10)-3450(km). d-17-2(n-1)=-2n+19. 鹰3450 8.解设张大爷在11月份每天的运动步数构成数列{a.,由 2 题可知该数列为等差数列,且{a。)的前n项和为S.,所以 $8n-10.当n=1时,b=T-7;当n2且n N*时,b S.S.-S.S-S成等差数列,所以2(S-S)-S。+ T.-T1=-2n+19.又b-7不符合此式,所以b。 S-S,即2X(15.8-6.9)-6.9+S-15.8.解得S-26.7 (7,-1. 当1{n9时,>0;当n10时,b -2n十19n2. 所以张大爷在11月份的运动步数是26.7万步. 智26.7 0.所以当1<n9时,R=|b|+b|+.+|b -b+ b+..+b=T.=-n+18n-10;当n>10时,R=lb|+ [2a+6d-5. 9.解(1)设等差数列(a。)的公差为d,则 #4a43-7 解 lb+..十6. -b+b+.+b-(b+b+..+b) 2 2(b +b十.+b)-(b+b+.+b+bo+b+.十 (-1. .故-1十+(n1- b.)--T.+2T。--18n+152 #_# 综上所述,R.一 (-n2+18n-10,19. *-18n+152,n>10. 4 2 2 培优训练(一) 2(2) 1.C 解析由题意得a-a+2-5,a-a:+4-9.故选C项 故二十.一-(-0+1-+ 2.B 解设公差为d,因为as+a-2a-20,所以a-10,所 以a-a:-6d-12,所以d-2.故选B项. #)-2()-6# [a0 (2n-90. #得# 3.A解由 12(n+1)-9>0. a_0. 10.解(1)选条件①,由数列a.)是等差数列,可设公差为d 因为n后N,故n-4.故选A项. [a-13. 则 4. BC 由等差中项的性质可得a十as十as=3as为定 $no-10a109--5. 解得d--3, 值,则a。为定值,S.15(a+ans)-15as为定值,但S= 2 2 所以a.-13+(n-1)x(-3)-16-3n 16(a+as)-8(as+as)不是定值.故选BC项. 选条件②,由数列a.)是等差数列,可设首项为a,公差为d 2 a-a:+2d-7, 解得 -13. 5.BCD 解数列-2025,0,4与4,0,-2025中数字的排列 则 a-a:十6d--5. 1--3. 顺序不同,不是同一个数列,所以A项不正确;令a。一^}十 n=110,解得n-10或n--11(舍去),所以B项正确:根号 所以a.=13+(n-1)×(-3)-16-3n 里面的数是公差为1的等差数列,第8个数为8,即2②,所 选条件③,由数列a.)是等差数列,可设首项为a,公差为d, {S=3at32-30 以C项正确;由数列3.5.9.17,33....的前5项可知通项公式 (a十d-10. 。2 解得 -13. 则。{ {S.-5a54-35. 为a一2+1,所以D项正确,故选BCD项 所 la2d-7. 1d--3. 6.解析当n-1时,a-S-0;当n2时,a.-S.-S1= 2 n-1n-2 以a.-13+(Gn-1)×(-3)-16-3n. [0.n-1. (2)由(1)知a。=16-3n,S.-(a+a.)n2on-3n{ 2 2 公式为一 令a-16-3n>0,可得n<5;令a.-16-3n<0,可得 6. (0.n-1. 所以a.的前5项都是正数,从第6项起是负数,故当n-5 一n 2,nN 时,S.最大. .163. 11.B 翻因为等差数列前”项和中,S-,-(2n-1)a.,所 S.S1 3×94,所以 1 故一 1 #-1.故选B项. __ 5S SS SS 5 1. 1 1 4+1 4n+5-54+5-5(4+5) 1 4n 12.C 由题意可得,小刘从第一天开始每天跑步的路程 依次成等差数列,且首项为1千来,公差为0.5千米,设他 15.解析由图可知,前”个拐弯处的数依次是4,6,10,14,20 经过n天后完成健身计划,则nx1+n(n-1)x0.5>280. 26.34,42,52... ①,经观察,从第二项开始该数列的每一 2 项减去前一项,得到新数列2,4,4,6,6,8,8,10,10.... ②. 整理得n}+3n-1120>0,解得n32.故选C项. 把数列①的第一项添在数列②的前面得4,2,4,4,6,6,8,8 10.10.... 13.ACD因为a-,a-1-2--1,a-1-(-1)= ③,观察数列①和③发现原数列①的第n项a. 等于数列③的前n项和,即a-4,a-4+2-6,a-4+ 2,a=1-1-1,a=1-2=-1,a =1-(-1)-2,所以 2+4-10.at-4+2+4+4-14,..1,故第30个拐弯处的数 数列{a。)是周期数列,且周期是3,所以ao26一axx75+ a-4+2+4+4+..+28+28+30+30-2+2×(2+4+ 6+..+430)-2+2×(2+30)×15_482. -1,故A项正确;被5除余1的数是5(n-1)+1- □- 2 5n-4,nN*,是首项为1,公差为5的等差数列的通项公 答482 16.(1)因为点(n,S.)在画数y-*+x的图象上, 式,即a.-5n-4,因为a-5x40-4-196<200,a-5$ 41-4-201>200,所以200个数字中,有40个数被5除余 所以当一①,# 当#2时,S-1(n-1)}+寸(n-1) ②. ①-②得a.-n. C项正确:根据条件可得c一co,因为cu.C....,c:是以1 所以a.-n(nEN). 为首项,2为公差的等差数列,所以c-c-1十(20-11)× (2)也(1)知-”,寸(). 2-19,故D项正确.故选ACD项. 14.解析(1)方法一 当n-2时,S-2(a-4),又a:-14,所 所以T-(1-)+(-1)+(-)+. 以a-6,由S.-n(a.-4n+4),n后N知,当n2时,S (1) (n-1)·[a-4(n-1)+4]. 相减得(n-1)a.-(n-1)a-:-8(n-1)-0,即a.-a-1= #-1(11--) 8.故a。)是等差数列, -3-1(+#). 由a-14,得a.-14+(n-2)x8-8n-2. 方法二由S.=n(a.-4n十4),nEN,得S.-n(S. 所以T。t-T。-+1(n+3)→0. S..-4n+4),nN(n2). 所以数列(T。单调递增,所以(T)一T一 ##是等差数列# 要使不等式T。→log(1-a)对任意正整数n恒成立,只 要log.(1-a)恒成立即可, 当n-2时,S-2(a-4),又a:=14,所以a-6,所以S 因为1-a>0,所以0a<1,所以l-a>a,即a士,所以 <a#,即实数a的取值范围为(o,). 所以a.=S-S,-4+2n-4(n-1)+2(n-1]-8n- 2(n2). 课时作业(七) 当n-1时,a-6,满足上式.所以a.-8n-2. (2)证明:由于、S.-4r+2n4nr+2n+寸-2n+ ①,a-a- 1.A 解由题意可得a一aq-2 ②, 1_ 由②→①得一,所以一.故选A项. .164.